王宇航，唐 超，郭晓东，谭儒龙，张卫青
(重庆理工大学机械工程学院，重庆 400054)
弧齿锥齿轮因为其齿面特殊性具有重叠系数大，强度高，传动效率高等优点，广泛应用于现代加工机床中，另一方面弧齿锥齿轮的齿面较为复杂，加工精度要求较高，而在加工过程中因金属切削所产生的切削力是影响加工精度的重要因素，以弧齿锥齿轮为例，切削力的大小将影响加工时的切削振动、刀齿磨损、切削温度状况等，进一步影响弧齿锥齿轮表面的加工质量、齿坯整体形变等，最终对弧齿锥齿轮的工作性能产生影响，所以针对弧齿锥齿轮加工中切削力的研究是提高弧齿锥齿轮加工精度的重要环节。
国内外学者针对切削力不断开展各种研究，方刚等[1]基于正交切削工艺建立了正交切削模型，对建立的模型与有限元模型做了比较与分析；
董辉跃等[2]建立了针对铝合金材料加工的三维铣削模型，并模拟了切屑的形成过程，揭示了切削力的变化过程；
郭茜等[3]以高速干式飞刀单齿铣削为研究目标，在考虑铣削振动的再生效应及厚度的基础上，建立了动力学模型并通过仿真反应了切削振动过程。HEIKKALA[4]采用数值仿真的方法对切削力的计算进行了研究；
LI等[5]根据实际经验对切削力进行分析；
BARO等[6]利用不同的切削加工原理对切削力进行研究并分别建立了对应的切削力模型；
ADOLFEEON等[7]对多齿切削加工进行了相关的理论研究。
由上述研究状况可见，目前对于切削力的研究成果颇多，但关于弧齿锥齿轮铣齿加工切削力的研究不够深入，没有一种普遍适用的切削理论模型。所以对于弧齿锥齿轮加工[8]进行切削力问题的研究有十分重要的意义。又因为成形法在齿轮加工中应用广泛、加工精度高，本文从实际出发，以弧齿锥齿轮成形法的切削过程为研究对象，发展一种较为准确、普遍且快速的计算方法，完善弧齿锥齿轮切削加工的研究理论。
1.1 弧齿锥齿轮微段切削过程
在切削力计算之前需研究弧齿锥齿轮在切削中的具体过程，为了简化所研究的对象，设定加工过程中任意时刻只有一个刀片在参与切削，以外刀(内外刀切削力模型无本质差异)参与切削时为例，不考虑刀具振动以及磨损对切削力产生的影响，对弧齿锥齿轮微段切削过程进行建模。图1为离散的外刀齿微段切削刃的切削示意图。
图1 外刀齿微段切削图
弧齿锥齿轮切削加工过程中瞬时未变形切屑面积由未变形切削切屑宽度和厚度决定，即为本文切削力计算中的重要因素。
1.2 刀齿微观切削力建模
针对弧齿锥齿轮微段切削过程建模之后，建立单个刀齿的微观切削力模型，由于切削微段可以近似为斜角切削，所以本文采取斜角切削作为切削力的基础模型。三维斜角切削模型如图2所示。
图2 三维斜角切削示意图 图3 斜角切削坐标系
建立如图3所示斜角切削坐标系。分别定义3个平面：包括基平面Pr、切削平面Ps以及法平面Pn，建立坐标系(x0,y0,z0)、(x,y,z)及坐标系(xc,yc,zc)。如图所示，其中y平行于刀具切削刃方向，切削速度V与y之间夹角为剪切角φn，x0与切削速度方向一致，Zc是切屑流动方向。αn为刀具法向前角，λs为刃倾角，α0为刀具前角，Vc为流屑速度，ηc为流屑角，Ft为切向力，Fr为背向力，Fa为进给力。
根据图3坐标系可知，切削力与角度，流屑速度有关，因此需要对其进行定量定性分析。
根据斜角切削理论[9]，法向前角αn计算公式为：
αn=arctan(tanα0cosλs)
(1)
根据Stabler原则[10]：当刃倾角较小的时候，流屑角ηc约等于刃倾角：
根据Merchant[11]公式近似得出法平面内的剪切角φn，可通过式(2)计算：
(2)
式中，β为摩擦角。
采用Schulz提出的经验公式[12]，其刀具切屑之间的平均摩擦系数表达式为：
(3)
式中，f为摩擦系数；
f0为参考摩擦系数；
p为切削速度对摩擦的影响因子。由于缺少实验数据，本文采用典型值f0=0.704，p=-0.248作为仿真参数[13]。
如图4所示，斜角切削中切削速度为V、流屑速度为Vc、剪切速度为Vs，三者在一起形成矢量三角形。设S方向为切屑流动方向，则流屑角ηc是其与Zc之间的夹角，并可建立斜角切削剪切区模型，如图5所示。
图4 速度矢量图
(a) 法平面内坐标系示意图 (b) S视图方向图5 斜角切削剪切区示意图
根据斜角切削理论可以求得流屑速度和剪切速度分别为：
(4)
(5)
由图5b可得：
(6)
(7)
式中，ηsh为剪切流动角。
通常情况下，不考虑刀具与后刀面摩擦且假设刀尖锋利。
令切屑在主剪切面上的情况作为研究对象，设工件与刀具合力为F1；
将合力投影在坐标系(x,y,z)中，根据作用在切屑上的力平衡原理推导出关系式为：
(8)
式中，剪切力Fs表示为：
(9)
式中，b、h、τ分别为瞬时未变形切削宽度、切削厚度和剪应力。
1.3 齿坯材料的本构模型
由于需要弧齿锥齿轮加工过程中剪切区的剪应力，本文综合比较了各种模型的优缺点[14]，由于johnson cook(JC)模型的准确性和简洁性，很容易推广到多数材料，所以本文材料模型采用常用的JC本构方程表示为：
(10)
1.4 切削力模型
在斜角切削中，切向力Ft、背向力Fr、进给力Fa是切削合力F1在单位向量x0、y0、z0方向上的分量，即表示为：
(11)
2.1 成形法铣齿加工原理
以弧齿锥齿轮副中为例，成形法切削过程如图6所示。
图6 成形法铣齿
在采用成形法加工弧齿锥齿轮时，需要调整安装角度和刀具坐标，加工过程中主要运动有两个：一个是图1中刀具沿轴向进行直线移动的进给运动，另一个是刀具绕刀盘中心旋转形成的切削运动，在两种运动的迭加下，内外刀的刀尖运动轨迹均为自上而下的螺旋线，刀具旋转为螺旋面进行切削，待切削的刀齿切削区域不断发生变化且均与上一颗刀齿有关，这些螺旋线将一直延伸至给定切削深度，刀具运动完毕后形成齿槽。
2.2 内外刀切削力计算
如图6所示，弧齿锥齿轮切削加工过程中，刀齿切削截面如图7所示，定义刀齿向下的每齿进给量为fz。
图7 刀齿切削截面
切削宽度和切削厚度由图1可得。本文选取整面切削作为讨论对象，图1中剖面线部分的为一次进给中刀片所切除的部分。
以外刀加工为例，切削过程中，刀具沿刀盘主轴的进给距离为：
zj(t)=ft
(12)
床位zj为：
zj=Hg-zj(t)
(13)
根据加工过程，外刀最大的切削宽度为lmax，未变形切削切屑宽度为l，由图7中剖视图推得基本公式为：
(14)
(15)
h=fzsinφbe
(16)
切削过程中，每齿进给量为：
(17)
式中，Hg为理论全齿高；
φbe为外刀齿形角；
φbi为内刀齿形角；
f为进给速度；
n为刀盘转速；
Zt为刀盘内切、外切刀片总数。
由于在实际切削加工时，弧齿锥齿轮的齿槽是由顶刃切削而成，所以在计算中要考虑顶刃在切削中的影响，根据计算得到内、外刀齿顶刃瞬时未变形切屑切削宽度和厚度为：
bi=Sb
(18)
hi=2fz
(19)
式中，Sb为刀顶宽，Sb=(0.5～0.75)W；
W为刀尖错距。
切削刃微段剪切力dFex为：
(20)
式中，Ash为切削面积。
推导出切削刃微段切削合力：
(21)
由斜角切削公式可得切削刃微段切削力为：
(22)
结合前文分析，联立式(10)推导出外刀切削刃切削力为：
(23)
同理，内刀切削刃切削力可得：
(24)
从节约时间，减少成本的理念上出发，验证上述计算方法中切削力模型的正确性，首先进行真实加工状况下的仿真分析，并将理论预测结果、仿真分析结果进行对比，初步判断其准确性；
随后进行实际加工测量实验，并将理论预测结果、实验测量结果进行对比并分析。
3.1 仿真分析
仿真分析采取有限元仿真技术，根据有限元一般基础理论，当有限元网格足够密时，其有限元数值计算结果与实际结果趋于一致。其中，铣刀盘及轮坯主要参数如表1所示。
表1 弧齿锥齿轮加工刀盘及轮坯主要参数
轮坯采用的20CrMnTi钢的J-C本构模型参数值[15]如表2所示。
表2 20CrMnTi钢的J-C本构模型参数值
弧齿锥齿轮仿真切削力云图如图8所示。理论计算值与仿真值分析图如图9所示。
图8 弧齿锥齿轮仿真切削力云图
(a) 理论计算与仿真分析对比图 (b) 理论计算与仿真分析对比图图9 理论计算值与仿真值分析图
图9表明理论计算值与仿真值具有较好的一致性，另外分析影响切向力、轴向力和径向力大小的主要因素有：
(1)切削厚度。从理论计算方法可以预测出切向力与切削厚度成正比变化，但以较大的厚度进行切削时理论预测值与仿真值有较大差距，这是因为理论计算方法计算中的平均摩擦系数式(3)没有考虑切削厚度对摩擦因数的影响。事实上当切削厚度的增大时，大量的切削热在切削区域产生，从而导致摩擦因数下降。综合这些方面因素的影响，导致了仿真值中切向力不与切削厚度成正比例增大。
(2)切削速度。在中等速度的状况下，切向力通常根据切削速度的增大而减小。
根据表3，理论计算方法的计算速度相较于仿真速度，时间缩短了99%以上，有着明显的计算速度优势，这是因为理论计算方法相较于有限元仿真实简化了大量对计算没有显著影响的切削因素，在结果保证准确性的同时节约了大量时间。
表3 仿真与理论计算方法计算时间
3.2 切削力测量实验
通过实际加工实验测量切削力验证理论计算切削力的正确性。准备切削力测量实验所用轮坯、切削工具和夹具，进行实验。将主要参数输入数控机床系统中，轮坯按要求安装到铣齿机夹具上，对刀后进行切削，加工过程中基于Kistler9171A旋转式测力仪进行切削力测量实验，如图10所示，测力仪会将测得的切削力数据通过电荷放大器进入数据采集系统被采集并在终端中DynoWare软件中显示出来，实验数据抽样如图11所示。
(a) 数据采集端 (b) 实验加工端图10 测量切削力实验器械
图11 实验数据图 图12 数据对比图
实验数据被读取出来后对其进行后处理，整理选取其中切削深度与理论计算中切削深度一致的实验数据进行对比，由于使用的是旋转式测力仪，所采集到的切削力所在的坐标系不断在变化，并且测得的径向和切向力处理起来非常复杂，但是沿切削速度方向的力是容易处理的，固采集沿切削速度方向的切削力数据并与仿真数据、根据理论计算模型中图3坐标系的投影方向数据进行对比，实验数据与理论数据，仿真数据对比如图12所示。
根据图12可知实验和理论预测具有较好的一致性，但存在一定的误差。此结果现象的主要因素为：
(1)切削刃。本文切削力公式中的切削刃均是绝对锋利，实际上切削刃总会存在圆角，刀尖存在球面，导致刀具刃口半径产生额外的犁耕力，从而切削力实验结果比理论预测结果偏大。
(2)摩擦因数。刀具与切削区域之间的摩擦因数主要被切屑速度、温度和压力影响，且摩擦因素随着时间在变化，但本文采用的是平均摩擦系数表达式并不随发生时间变化而且只考虑了切屑速度对摩擦因数的影响，这会导致切削力实验结果与理论预测结果有差异。
本文针对弧齿锥齿轮加工过程开展研究，为完善弧齿锥齿轮切削加工理论，提出一种弧齿锥齿轮成形法
切削力理论计算方法，通过数学理论模型导出成形法加工弧齿锥齿轮切削力理论计算式，然后将算例与仿真，算例与实验进行对比，验证计算式的准确性，大幅缩短求解切削力的时间。通过以上研究内容得出以下结论：
(1)理论计算与仿真数据，理论计算与实验数据对比结果表明，在保有结果精度的情况下，理论计算方法计算速度相较于仿真实验求解速度有显著的提升。
(2)根据成形法加工弧齿锥齿轮的原理和金属切削理论，可以推导出在加工运动中瞬时未变形的切屑面积。
(3)基于单齿切削理论及斜角切削理论建立的弧齿锥齿轮成形法加工切削力理论模型，有一定的准确性，说明斜角切削理论可以适用于切削区域不断变化的切削力模型。
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