集合教材分析17篇

集合教材分析17篇集合教材分析　　集合思想是数学中最基本的思想虽只陈东王爱华赵军于丽朱晓东周晓卢强跳绳比赛的同学踢毽比赛的同学只既又然学生在计数和计算的学习中已经接触下面是小编为大家整理的集合教材分析17篇,供大家参考。

篇一：集合教材分析

　　集合思想是数学中最基本的思想虽只陈东王爱华赵军于丽朱晓东周晓卢强跳绳比赛的同学踢毽比赛的同学只既又然学生在计数和计算的学习中已经接触过集合思想但学生在低年级接触的集合思想更多是一一对应的思想对于两个集合间的运算尤其是交集的体会并不多

　　《集合》教学设计教学目标：知识与技能：1.通过观察、拼摆、画图、比较等方法经历探索维恩图产生的过程，理解、体会集合图其各部分的意义和价值。过程与方法：2.了解简单的集合知识，能利用维恩图、运用集合的思想方法来解决较简单的实际问题。情感、态度与价值观：3.体会数学和生活的密切联系，在解决问题的过程中形成合作意识、培养合作能力。教学重点：让学生经历维恩图的产生过程，学会用集合的思想方法解决较简单的实际问题。教学难点：理解“交集”的具体含义，利用维恩图解决问题。教学准备：打印学生名单，塑料集合圈，探究单等。教学过程：一.唤起与生成1．师课件出示学校比赛通知：

　　通知三年级每个班选拔5名同学参加8时举行的“跳绳比赛”，6名同学参加9时举行的“踢毽比赛”。

　　师根据通知要求，引导学生猜想“三年级每个班要选拔多少人参加比赛？”预设：生猜想11人。【设计意图：从学生身边熟悉的两个比赛出发，让学生猜一猜“三年级每个班要选拔多少人参加比赛？”激发出学生学习的积极性。】二.探究与解决

　　（一）通过观察表格，发现表格中的人数不是11人而是9人，产生矛盾冲突。三（1）班的参加跳绳比赛和踢毽比赛的情况如下表:

　　跳绳比赛杨明

　　陈东

　　刘红

　　王爱华

　　赵军

　　踢毽比赛刘红

　　于丽

　　周晓

　　杨明

　　朱小东

　　卢强

　　师呈现三（1）班参加比赛的学生名单，并让学生观察表格，看看三（1）班一共有多

　　少人参加这两项比赛。

　　预设：生1：11人生2：9人。

　　师追问“为什么一共是9人”。通过观察、比较发现杨明、刘红重复参加了这比赛。为了确定一共有几人参加这两项比赛，师建议学生到讲台上数一数表格中应该有多少人。预设：11人或9人。

　　师生共同观察表格，发现参加这两项比赛的同学一共有9人。师提出质疑：“明明算的是5+6=11（人），可数起来为什么是9人呢？”产生矛盾冲突。预设：生：因为有重复的人。体现“重复”的重要性。得出结论：这个表格不能清楚的表示“重复参加比赛的人”和“一共有几人”，引出“努力小目标”。

　　跳绳比赛杨明

　　陈东

　　刘红

　　王爱华赵军

　　踢毽比赛刘红

　　于丽

　　周晓

　　杨明

　　朱小东卢强

　　努力小目标：1.想一想：怎样既能清楚的表示“重复的人”，

　　又能一眼看出“一共有9人”。2.做一做：用摆一摆、画一画等方法把名字重新整理。学生根据努力小目标独立思考。再小组合作完成努力小目标.【设计意图：教师在这两个比赛中，给学生设置了计算结果与实际人数不相符的矛盾冲突，让学生在焦急中发现“重复”，在发现中生趣。】（二）.小组合作，探索解决问题。1.学生独立思考后带着自己的想法进行小组合作，完成努力小目标。努力小目标：

　　跳绳比赛杨明

　　陈东

　　刘红

　　王爱华

　　赵军

　　踢毽比赛刘红

　　于丽

　　周晓

　　杨明

　　朱小东

　　卢强

　　（1）.想一想：怎样既能清楚的表示“重复的人”，又能一眼看出“一共有9人”。

　　（2）.做一做：用摆一摆、画一画等方法把名字重新整理。（3）.记一记：把你们小组喜欢的方法记录在展示板上。

　　学生在小组内通过重新整理名字卡片，用笔圈一圈、画一画等方法，表示“重复的人”和“一共有几人”。【设计意图：设置问题、明确要求，使学生有目标、有方法的完成探索任务，在动手操作中经历维恩图的产生过程。】2.展示方法，优化策略。

　　老师巡视后，选择几个有代表性的作品准备全班分享。课件出示展示要求：小组展示我最牛！温馨提示：（1）.说一说：每组派两名代表，向大家说说你们小组的

　　设计方案。（2）.评一评：倾（qīng）听的同学要用“欣赏+建议”

　　进行评价。师展示几个比较有代表性的作品，请每组的两位代表向全班展示他们的设计方案，并由全体同学进行评价补充。预设：学生可能会用摆一摆、圈一圈、画一画等方法表示出“重复的人”和“一共有9人”。3.师生画圈，呈现直观图。依据小组内学生生成的资源，师引导学生把参加“跳绳比赛的同学”和参加“踢毽比赛的同学”用圈圈起来，进一步抽象直观图，体现知识生成的过程。【设计意图：在几个小组作品的交流过程中，也是学生相互启发、相互学习的过程，在展示过程中，通过师生、生生的辨析性活动，让学生发现并体会到各自方法的特点与局限性，学生经历了“初始-理解-升华”的过程，生成了直观的图在这个过程中让学生学会比较、学会创造、并体验到数学的简洁美。】4.教师把小组作品展示在黑板上。

　　在整理过程中，师先把圈整理在黑板上，引导学生把两个圈呈现有重复的情况，再把参加比赛的学生名单贴在相应的圈里。

　　师通过黑板上的图，总结出集合的概念：我们可以把参加跳绳比赛的5人看做一个整体，我们用红色的圈把他们圈在了一起，在数学上，这个整体可以看作一个集合。我们把参加踢毽比赛的同学也看作一个整体，我们用蓝色的圈把他们圈在了一起，这个整体也可以看做一个集合。整个图表示三（1）班所有参赛同学的集合。揭示课题：集合。5.理解各部分的意义。

　　师提出问题：杨明、刘红到底属于哪个集合圈？引导学生理解两个集合圈相交的中间部分表示“既参加跳绳比赛的同学又参加踢毽比赛的同学。”深刻的理解交集的意义。师提出“红色圈去掉中间部分，剩下的大月牙表示什么？”和“红色圈去掉中间部分，剩下的大月牙表示什么？”两个问题，引导学生理解这两部分的意义。【设计意图：依据学生生成的资源，教师进一步抽象概括为集合圈，体现了知识的生成过程，通过对集合各部分元素的认识，让学生清楚的认识到三部分分别指哪些学生。体会到集合是否有交集其实是分类标准决定的。】三．训练与应用：1.深刻理解“交集”的含义。借助黑板上的图列算式，让学生解决“一共有多少人参加比赛？”预设：学生可能会写出多种算式，重点研究“5+6-2=11”。通过全班交流，共同质疑：为什么减2？在质疑、交流中，明白减去的2就是减去重复的次数，重复参加比赛的人我们只算一次。【设计意图：本环节让学生通过直观图理解减2的道理，从而使学生在此理解解决交集问题的算理】2.理解减去“重复的人数”的意义。课件出示问题情景：三（2）班参加跳绳比赛的有5人，参加踢毽比赛的同学有6人，三（2）版可能有几人参加比赛？通过“三（2）班可能有几人参加这两项比赛？”的问题，师引导学生思考可能有多少人重复参加比赛。让学生通过这几种的两个集合圈的位置关系，列出算式，让学生真正明白减去重复的人数其实就是减去多余的次数。通过这几种情况师生共同抽象出三类图形：

　　揭示出维恩图。【设计意图：用开放性的过渡问题引出同学们的思考，使学生比较全面的初步感知并集、交集的一般情况和两个特例。引导学生感受集合思想的源头---抽象思想。】四．小结与提高1.师：这节课你有什么收获？

　　生谈收获。2.师：课下读一读数学故事《两角钱的旅行》，找一找两角钱去哪里了？

　　学生带着思考结束本节课。最后老师送同学们一句话：学习时要思考、思考、再思考，在思考的路上越走越远。【设计意图：通过学生谈收获，对本节课有一个系统的回顾与反思。数学故事让学生带着思考结束本节课，感悟学会思考的重要性。】

　　板书设计：

　　只······

　　跳绳比赛的同学

　　陈东王爱华赵军

　　集合

　　踢毽比赛的同学

　　杨明陈红

　　于丽朱晓东周晓卢强

　　······只

　　······

　　既······又······《集合》学情分析

　　本单元教材第一次安排了简单的集合思想的教学。集合思想是数学中最基本的思想，虽

　　然学生在计数和计算的学习中，已经接触过集合思想，但学生在低年级接触的集合思想更多是一一对应的思想，对于两个集合间的运算，尤其是交集的体会并不多。

　　学生在早期学习数学时就已经开始运用集合的思想方法。如：分类的思想与方法，再如：一年级时接触过这样题：“有一列小朋友，从前数明明排第5，从后数明明排第3，这一列有几人？”对于“重复的人数要减去”，学生是有经验的，能够列式解答。集合数学思想方法不仅有着广泛的应用，而且是今后进一步学习数学的基础。这一数学思想的引入为培养学生的逻辑思维能力提供了良好的素材。在今后的学习经常运用到维恩图表示关系，如：三角形的分类、各种四边形关系等。都是让学生在体会运用上解决实际问题，为今后学习奠定基础。

　　《集合》效果分析一．教学目标达成方面（1）课堂教学三维目标符合课程标准的课程目标，做到了基础性目标与发展性目标的统一。本节课特别重视了知识技能、过程方法和情感态度价值观的落实。（2）教师对教材进行了二次开发，让学生在活动中充分感受推理的过程，从初步感知到逐步理解，层层深入，使学生达到了在乐中玩、在玩中乐，在乐中学，在学中乐的境界。二．教学设计实施方面（1）通过学生熟悉的“跳绳比赛”和“踢毽比赛”导入课堂，激发了学生的学习兴趣，激起了学生探索新知的欲望，由此导入新课有趣自然而合理。（2）在探究新知的过程中，学生在熟悉的情境中,完成了对“集合”的感知、创造、提升、应用,有利于学生完整的思考问题,避免一些非数学因素的干扰,实现了数学的深度学习。在“集合”的认知过程中,教师敢于放手让学生去尝试、去探究、去发现,虽然看起来有点费时、费力,但学生在这个过程中,学会了比较,培养了符号意识和优化意识,而比较和优化又是今后创造发明的重要基础,这才是真正的深度学习。（3）在训练与提高的过程中，让学生在猜密码、找村长家、找夜明珠的练习中，进一步明确推理的含义，感受推理的方法，渗透推理的数学思想。三．学生状态表现方面（1）面向全体学生，每个学生都能积极参与学习，积极动手、动脑。师生互动，生生互动，全员参与，形成了活跃的课堂气氛。四．教学效果实现方面（1）根据学生的课堂教学反映、检测等反馈来看，教学达到了目标。

　　（2）教师在内容和方法的设计、教学辅助手段、板书等方面勇于创新，收到了非常好的效果。

　　《集合》教材分析“数学广角―集合”是人教版三年级上册第104页的教学内容。本单元教材第一次安排了简单的集合思想的教学。集合思想是数学中最基本的思想，虽然学生在计数和计算的学习中，已经接触过集合思想，但学生在低年级接触的集合思想更多是一一对应的思想，对于两个集合间的运算，尤其是交集的体会并不多。学生在早期学习数学时就已经开始运用集合的思想方法。如：分类的思想与方法，再如：一年级时接触过这样题：“有一列小朋友，从前数明明排第5，从后数明明排第3，这一列有几人？”对于“重复的人数要减去”，学生是有经验的，能够列式解答。集合数学思想方法不仅有着广泛的应用，而且是今后进一步学习数学的基础。这一数学思想的引入为培养学生的逻辑思维能力提供了良好的素材。在今后的学习经常运用到维恩图表示关系，如：三角形的分类、各种四边形关系等。都是让学生在体会运用上解决实际问题，为今后学习奠定基础。本单元共有9个用集合思想方法解决的题目（含例题、“做一做”、练习题），涉及学生在生活（比赛人数、水果品种、参观人数等）和学习（按要求填数、写成语等）中经常遇到的问题：求两个集合的并集或交集的元素个数。让学生通过观察、操作、猜测、推理与交流等活动，初步感受数学思想方法的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐步形成有序地、严密地思考问题的意识，同时使他们逐步形成探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识。教材中体现以下几点：1．重视学生的已有基础，唤起学生学习的“兴趣点”，自主探索与接受学习有机结合（1）在例1教学中，用统计表的形式给出三（1）班参加跳绳、踢毽比赛的学生名单，提出要解决的问题。教师要让学生自主探索，思考解决问题的方法。呈现了一一列举出参加两项比赛的学生姓名（两个集合的元素），把重复的连起来（找到交集的元素）解决问题的方法，让学生体会在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。

　　（2）介绍用Venn图表示集合及其运算的方法，让学生体会集合元素的特性：互异性和无序性，体会集合的运算：交集、并集。

　　（3）提出问题“可以怎样列式解答？”让学生用计算解决两个集合的并集的元素个数问题，脱离具体的集合元素，从集合基数（元素个数）的角度思考解决问题的方法。

　　2．利用直观的数形结合，突破探究的“拐弯点”，帮助学生感悟集合思想在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图被称为维恩图。这种表示方法直观、形象，尤其对于解决比较复杂的问题（例如，涉及三个以上的集合的并、交的问题）更能显示出它的优越性。因此，教科书注重借助维恩图表示集合及其运算，帮助学生理解集合的知识，并让学生掌握画维恩图的方法。在通过例题介绍了用维恩图表示集合及其运算的方法后，接下来的练习中，不断让学生应用维恩图解决简单的实际问题，并利用维恩图帮助学生进一步理解集合概念及其关系。3．提供丰富的练习内容，完善思维的“结构点”，有层次地渗透集合知识首先，注重联系学生生活实际，帮助学生学习掌握新知。本单元共有9个题目来源于学生熟悉的情境，学生虽然熟悉这些情境，但以前不一定从集合的角度来思考并解决问题。因此，这样安排不仅可以提高学生学习的兴趣，激发学生的好奇心，而且还让学生体会到数学知识与生活的密切关联，逐渐学会从数学的角度看待身边的事物。其次，有层次地设计练习，逐步丰富并完善学生对集合知识的理解。例如，例题“做一做”和练习二十三的第1～4题，都提供了具体的集合元素的支撑，帮助学生理解集合及其运算。在学生积累了较丰富的活动经验的基础上，练习二十三的第5题和第6题，则脱离了具体的集合元素的支撑，让学生从集合元素的个数的角度抽象地探索解决此类问题的方法，提升思维的水平。再如，除了提供两个集合之间有交集且部分元素相同的情况外，为避免思维定势，还给出了两个集合没有交集（练习二十三第4题第（1）题）、有包含关系的两个集合（练习二十三第6题第（1）题）等情况，丰富学生对集合间关系的认识。

　　1．努力小目标：

　　《集合》评测练习学习探究单二

　　跳绳比赛杨明踢毽比赛刘红

　　陈东于丽

　　刘红周晓

　　王爱华

　　赵军

　　杨明

　　朱小东

　　卢强

　　1.怎样既能清楚的表示“重复的人”，又能一眼看出“一共有9人”。2.做一做：用摆一摆、画一画等方法把名字重新整理。3.记一记：把你们小组喜欢的方法记录在展示板上。

　　学习探究单二

　　1.列式计算：三（1）班有5人参加跳绳比赛，6人参加踢毽比赛。

　　参加比赛的一共有几人？

　　列式：2.我能行！三（1）班有5人参加跳绳比赛，6人参加踢毽比赛。可能会有多少人参加这两项比赛？

　　想一想:可能会有多少人重复参加比赛？

　　可能重复人，列式：

　　。

　　《集合》课后反思“集合”问题是人教版三年级上册数学广角的教学内容，本单元教材第一次安排了简单的集合思想的教学。集合思想是数学中最基本的思想，虽然在小学数学教学中有广泛的渗透，但是维恩图的理解对于三年级的学生来说困难是很大的，本单元教学的落脚点不是掌握与集合有关的概念，也不是熟练掌握计算的方法，而是让学生经历探究的过程，在解决问题的过程中理解集合的思想，并获得有价值的数学活动经验。

　　课前我对我们学校的三年级学生进行了了解。虽然学生在以前的计数和计算的学习中，已经接触过集合思想，但学生在低年级接触的集合思想更多是一一对应的思想，对于两个集合间的运算，尤其是交集的体会并不多。很少有学生了解或听说过集合思想，所以学习《集合》有一定的难度。因此在课前交流中，我设计了脑筋急转弯提高学生的学习兴趣，增强学生的自信心。“有两对母女看电影，可只买了3张票，你知道为什么吗？”初步唤起对“重复”的感悟。

　　首先，在课的开始，我用一则“通知”为桥梁，激发学生的生活经验。提出问题：“会有几人参赛？”紧接着，呈现例1主题图中统计表，提出“这两项比赛共有多少人参加”的问题，激发学生探究的欲望。激发学生学习的原点，唤起学生对于“重复的人数要减去”的知识经验，充分尊重学生的基础。引发认知冲突。

　　其次，我以问题“参加比赛的一共有多少人”为驱动，引发学生思考，11个名字和9人之间到底怎么整理才更清楚看出“重复的人”和“一眼看出有9人？”在此基础上放手让学生自主探索解决问题的方法，并充分展示学生的方法，在汇报中不断提炼规范学生的语言，在自主探究中引导学生经历维恩图的产生过程。

　　然后，我用多种形式的语言描述和借助直观活动帮助学生理解围恩图各部分的意义，利用数形结合思想，分类思想，一一对应思想，推理思想等引导学生感悟集合思想。

　　最后在变式中猜想比赛情况，利用算式和直观示意图提升出三幅不同意义的维恩图，升华集合思想，再次体会数学的简洁美。

　　在多次的思考与磨课中，我查阅了大量的有关集合资料，观看了许多的名师视频，进行了深度的数学思考。我的备课困惑是：

　　1．教学情境是静态较好还是动态较好？课堂教学需要一个情境串，但总是难以突破自己；2．在帮助学生建立维恩图的时候，总想着能有一个圈起来的工具较好，一直思考也没有满意的设想；3．在为什么“减2”时，总感觉缺少点什么扶手能帮助学生更好理解为什么“减2”。我的反思是：教学设计还没有做到环节与环节之间的天衣无缝的衔接。一些细节处理还不够细腻灵巧。在以后的工作和学习中我会积极改正不足，在实践中不断探索总结，不断改进，大胆创新，让自己的教学课堂更加精彩。

　　《集合》课标分析《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程目标”的“总目标”中明确提出“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”并对总目标从知识技能、数学思考、问题解决和情感态度四个方面进行具体阐述。在“数学思考”中再次明确提出“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”。在“数学广角──集合”单元中，教材安排了简单的集合思想的教学。集合思想是数学中最基本的思想，学生在早期学习数学时就已经开始运用集合的思想方法了。集合数学思想方法不仅有着广泛的应用，而且是今后进一步学习数学的基础。这一数学思想的引入为培养学生的逻辑思维能力提供了良好的素材。让学生通过观察、操作、猜测、推理与交流等活动，初步感受数学思想方法的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐步形成有序地、严密地思考问题的意识，同时使他们逐步形成探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识。

　　

　　

篇二：集合教材分析

　　三课堂练习课本p6练习归纳小结与作业本节课从实例入手非常自然贴切地引出集合与集合的概念并且结合实例对集合的概念作了说明然后介绍了集合的常用表示方法包括列举法描述法

　　数学1集合

　　大家好！~今天我要讲的是必修课程数学1中《集合》的相关内容.

　　一、教材分析

　　集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。本节课主要分为两个部分，一是理解集合的定义及一些基本特征。二是掌握集合与元素之间的关系。

　　二、教学目标1、学习目标

　　（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合之间的关系以及理解“属于”关系；

　　（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

　　2、能力目标（1）能够把一句话一个事件用集合的方式表示出来。（2）准确理解集合与及集合内的元素之间的关系。

　　3、情感目标通过本节的把实际事件用集合的方式表示出来，从而培养数学敏感性，了解到数学于生活中。

　　三、教学重点与难点重点集合的基本概念与表示方法；难点运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法，正确表示一些简

　　单的集合；四、教学方法

　　（1）本课将采用探究式教学，让学生主动去探索，激发学生的学习兴趣。并分层教学，这样可顾及到全体学生，达到优生得到培养，后进生也有所收获的效果；

　　（2）学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。

　　五、学习方法（1）主动学习法：举出例子，提出问题，让学生在获得感性认识的同时，教师层层深入，启发学生积极思维，主动探索知识，培养学生思维想象的综合能力。（2）反馈补救法：在练习中，注意观察学生对学习的反馈情况，以实现“培优扶差，满足不同。”

　　六、教学思路具体的思路如下复习的引入：讲一些集合的相关数学及相关数学家的经历故事！这可以让学生更加了解数学史从何使学生对数学更加感兴趣，有助于上课的效率！因为时间关系这里我就不说相关数学史咯。一、引入课题

　　军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

　　在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体。二、正体部分

　　学生阅读教材，并思考下列问题：（1）集合有那些概念？（2）集合有那些符号？（3）集合中元素的特性是什么？（4）如何给集合分类?（一）集合的有关概念（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，

　　都可以称作对象.（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由

　　这些对象的全体构成的集合.（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.

　　集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……1.思考：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，

　　对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。2、元素与集合的关系

　　（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A。（举例）集合A=｛2，3，4，6，9｝a=2因此我们知道a∈A

　　（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.（举例）集合A=｛3，4，6，9｝a=2因此我们知道aA

　　3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.4、集合分类

　　根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集

　　注：应区分，{}，{0}，0等符号的含义

　　5、常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R

　　注：（1）自然数集包括数0.（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*

　　（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除

　　此之外还常用列举法和描述法来表示集合。（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；例1．（课本例1）思考2，引入描述法说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；例2．（课本例2）说明：（课本P5最后一段）思考3：（课本P6思考）强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素{(x,y)|y=x2+3x+2}与{y|y=x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。辨析：这里的{}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示

　　法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（三）课堂练习（课本P6练习）三、归纳小结与作业

　　本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。

　　书面作业：习题1.1，第1-4题

　　

　　

篇三：集合教材分析

　　中学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素用集合语言可以简明地表述数学概念准确简捷地进行数学推本章内容以集合的含义与表示集合的基本关系集合的基本运算为逻辑链条统领全章这种安排与以往的教材的处理有很大的区别

　　北师大版必修（1）第一章《集合》的教材分析1、地位和作用：《普通高中数学课程标准》中写到：集合论是德国数学家康托在19世纪末创立的，集合语言是现代数学的基本语言．使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容．高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力．2、知识结构和内容分析：内容分析：集合是近代数学中的一个重要概念，集合概念及其基本理论又是近代数学的一个重要的基础，它不仅与高中数学的许多内容有着联系，而且已经渗透到自然科学的众多领域，应用十分广泛．中学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素，用集合语言可以简明地表述数学概念，准确、简捷地进行数学推理．本章内容以集合的含义与表示、集合的基本关系、集合的基本运算为逻辑链条统领全章，这种安排与以往的教材的处理有很大的区别．例如， 2集合的基本关系，是将集合的包含和相等关系放在一起，并给出自集的概念； 3集合的基本运算，是将集合的交、并、补放在这一节，并给出全集的概念，这样安排给学生展现出知识间的联系，便于学生学习．知识结构：

　　3、教材目标集合语言是现代数学的基本语言．使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容（集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础），因此高中数学课程中只是将集合作为一种语言来学习．知识与技能：①了解集合的含义，明确元素与集合的“属于”关系．掌握描写某些数集的专用符号．②理解集合的表示法，能用集合语言对事物进行准确，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．③理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．培养分析、比较、归纳的逻辑思维能力．④了解全集与空集的含义．⑤理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．⑥理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．⑦能使用Venn图表达集合的关系及运算．过程与方法：①从学生比较熟悉的实例入手，通过列举丰富的实例，了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算．②创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情景和机会，以便学生在实际应用中逐渐熟悉自然语言、图形语言、集合语言各自的特点，进行相互转换并掌握集合语言．③借助几何直观，运用Venn图和数轴表示集合的关系及集合的基本运算，从直观上帮助学生理解并运用集合语言处理问题，体现数形结合的思想．情感、态度、价值观：①在运用集合语言解决问题的过程中，逐步养成事实求是，扎实严谨的科学态度，学会用数学思维方法解决问题．②通过直观感知，类比联想和抽象概括，让学生体会数学上的规定要讲逻辑顺序，培养学生有条理地思考的习惯和积极探索创新的意识．4、教材重、难点

　　教学重点（1）集合的概念与表示．（2）集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念．（3）交集与并集、全集与补集的概念．教学难点（1）运用集合的两种常用表示法—列举法与描述法正确表示一些简单的集合．（2）属于关系与包含关系的区别．（3）交集与并集的概念的理解，交集与并集的符号之间的区别与联系．

　　

　　

篇四：集合教材分析

　　第一章“集合与简易逻辑”教材分析

　　本章安排的是“集合与简易逻辑”，这个章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两局部内容．集合的初步知识是现行高中数学教科书中原来就有的内容，这局部主要包括集合的相关概念、集合的表示及集合同集合之间的关系．简易逻辑知识则是新增加的内容，这局部主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”、四种命题及其相互关系、充要条件等相关知识

　　**王新敞

　　奎屯

　　集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要的基础．一方面，很多重要的学科，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．

　　逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科．学习数学，需要全面地理解概念，准确地实行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和使用．更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是理解问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成局部．

　　在高中数学中，集合的初步知识与简易逻辑知识，与其他内容有着密切联系，它是学习、掌握和使用数学语言的基础，这就是把它们安排在高中数学起始章的出发点．

　　本章共编排了8小节，教学时间约需22课时：

　　11集合**王新敞奎屯

　　12子集、全集、补集**王新敞奎屯

　　13交集、并集**王新敞奎屯

　　14绝对值不等式的解法**王新敞奎屯

　　约2课时约2课时约2课时约2课时

　　15一元二次不等式的解法**王新敞奎屯

　　16逻辑联结词**王新敞奎屯

　　17四种命题**王新敞奎屯

　　18充分条件与必要条件**王新敞奎屯

　　小结与复习

　　约4课时约2课时约2课时约2课时约4课时

　　说明：本章是高中数学的起始章，课时安排得相对宽松一些，像小结与复习局部安排4课时，其中考虑到了对初中内容实行适当复习、巩固的因素．

　　一内容与要求

　　大体上按照集合与逻辑这两个基本内容，第一章编排成两大节．

　　第一大节是“集合”．学生在小学和初中数学中，已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（圆）等，都有了一定的感性理解．在此基础上，这个大节首先结合实例引出集合与集合的元素的概念，并介绍了集合的表示方法．然后，从讨论集合与集合之间的包含与相等的关系入手，给出子集的概念，此外，还给出了与子集相联系的全集与补集的概念．接着，又讲述了属于集合运算的交集、并集的初步知识．鉴于不等式的内容当前初中数学只讲述一元一次不等式与一元一次不等式组，考虑到集合知识的使用与巩固，又考虑到下一章讨论函数的定义域与值域的需要，第一大节最后安排的是绝对值不等式与一元二次不等式的解法．此外，在这个大节之后，还附了一篇关于有限集合元素个数的阅读材料．

　　这个大节的重点是相关集合的基本概念．学习集合的初步知识，能够使学生更好地理解数学中出现的集合语言，能够使学生更好地使用集合语言表

　　述数学问题，并且能够使学生使用集合的观点研究、处理数学问题，这里，起重要作用的就是相关集合的基本概念．

　　这个大节的难点是相关集合的各个概念的含义以及这些概念相互之间的区别与联系．学生是从本章才正式开始学习集合知识的，这局部包含了比较多的新概念，还有相对应的新符号，有些概念、符号还容易混淆，这些因素都可能造成学生学习的障碍．

　　第二大节是“简易逻辑”．学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的理解)．由此，这个大节首先给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的意义，介绍了判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假的方法．接下来，讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的相关知识．

　　这个大节的重点是逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生实行简单推理的技能，发展学生的思维水平，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的相关内容是十分必要的．

　　这个大节的难点是对一些代数命题真假的判断．初中阶段，学生仅仅对简单的推理方法有一定水准的熟悉，并且，相关的技能和水平，主要还是通过几何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和水平，所以，像对代数命题的证明，学生还需要有一个逐步熟悉的过程．

　　根据《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）》的规定，本章的教学要求是：

　　⒈

　　理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；理解空集和

　　全集的意义；理解属于、包含、相等关系的意义；掌握相关的术语和符号，并

　　会用它们准确表示一些简单的集合；掌握带绝对值的不等式与一元二次不等式

　　的解法．

　　⒉理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；进一步理解反证法，会用反证法证明简单的问题；掌握充要条件的意义．

　　二本章的特点

　　⒈注意初中与高中的衔接

　　近年来，在与本章相关的内容上，按照教学大纲，初中的教学要求有哪些变化呢？

　　先看相关集合的局部．初中适当渗透一些集合思想，这个点基本没有变化．此外，初中去掉了一元二次不等式与绝对值不等式的内容．

　　再看相关逻辑的局部．1996年以前的初中毕业生，应该达到以下要求：⑴理解命题的概念；⑵初步掌握逆命题和逆定理的概念，能准确表达题设与结论都是简单命题的命题的逆命题，理解准确命题的逆命题的逆命题不一定准确；⑶理解四种命题及其相互关系；⑷理解用反证法证明命题的思路，能用反证法证明一些比较简单的几何题．从1996年起，对于高一新生，初中的要求又有进一步调整．上述⑵改为：理解逆命题和逆定理的概念，原命题成立它的逆命题不一定成立，会识别两个互逆命题．⑶删去．⑷改为：理解反证法．

　　基于以上情况，考虑到学习高中数学的需要，新教材一方面补充了一些必要的知识点，例如关于一元二次不等式与绝对值不等式的解法；另一方面对一些初中相对薄弱的内容，适当予以增强，例如关于反证法等．

　　例如，关于交集、并集的概念，教科书先从图形表示入手，让学生有一个直观的理解，然后给出定义，再用实例加以说明，并且，引出概念的图形也仅仅采用了一种简明的形式，而没有画出全部可能出现的情况．

　　又如，本章是比照初中学过的一元一次不等式，并且借助二次函数的图象，讲述一元二次不等式解法的．

　　⒉重视集合与逻辑在中学数学学习中的应用

　　本章是高中数学的基础，学习本章，主要目的是为了理解后续章节出现的集合与逻辑语言，会用集合与逻辑语言描绘学习中遇到的数学问题，进而解决这些问题．像对一些性质、定理的理解，对函数的定义域、值域的描绘，对推理方法的掌握，等等．

　　本章在集合与逻辑内容的编排上，既考虑到知识的系统性，又照顾到学生的可接受性，并且始终围绕着集合与逻辑在中学数学学习中的应用这个基本出发点．

　　在集合这局部，相关集合运算的内容，就注意在解方程和不等式方面的应用，在数学概念的分类方面的应用．

　　在逻辑这局部，相关命题的内容，突出的是对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的理解和对复合命题真值的理解，而不过多地涉及对一个语句是不是命

　　题的判断．此外，像关于复合命题的否认，对近期学习影响不大，学生学习又比较困难，本章基本未涉及．

　　为了协助学生理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”，教科书中介绍了“或门电路”、“与门电路”，这是两个应用的实例．实际上，计算机的“智能”装置就是以数学逻辑为基础实行设计的

　　**王新敞

　　奎屯

　　三教学中应注意的问题

　　⒈教学要求的把握要适时、适度

　　本章是高中数学的起始章，适当地把握本章的教学要求是教学中应该重视的问题．

　　集合与逻辑的初步知识是高中数学的基础知识，学习这些内容，主要是为今后进一步学习其他知识作基本语言、基本方法的准备，相对应地，对知识系统性、严谨性的要求一定要适度．

　　学习相关集合的初步知识，其目的主要在于应用．具体说，就是在学习其他知识时，能读懂其中的简单的集合概念和符号；在处理简单的实际问题时，能根据需要，使用集合语言实行表述．在安排训练时，要把握一定的分寸，不要搞偏题、怪题．集合相关性质的证明，一般不要求学生掌握．有些可能混淆但在实际问题中并不多见的关系，就不必故意编排在一起，让学生去一一实行辨析．

　　本章安排的是集合与逻辑的初步知识，这些知识的讲述，是以初中数学的内容为基础的．从引出相关知识的实例，到具体应用的问题，基本都属于初中数学的范围，这种局限自然会对相关知识的理解和掌握造成一定影响．随

　　着后续章节的学习，对集合与逻辑知识的应用将越来越广泛和深入，相对应地，对集合与逻辑知识理解和掌握的水平也就越来越高了．所以，本章的教学要求，应该避免一步到位．

　　关于含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真值表，在开始时，教学重点还是借助三个真值表，加深对含有“或”、“且”、“非”的复合命题的理解，而不必急于让学生掌握对一般复合命题的真假的判断．

　　关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控制在对初中代数、几何的相关问题的理解上为宜．

　　⒉提升集合与逻辑的教学效益

　　当前高中数学教学的一个突出问题是教学效益不高．具体表现在：一方面，学生用在数学上的时间比较多，像与美国比，是美国学生的好几倍；另一方面，学生在考试中表现良好，但创造性水平和应用水平有一定欠缺，个性发展也存有着缺乏之处．

　　为了后续章节的学习，在本章必须给学生打下适当的集合与逻辑基础，限于学生的预备知识与接受水平，在本章又不能过多地追求理论的完整，只有处理好这个关系，才能提升教学效益．所以，在实际教学时，一定要抓住重点．怎样把握本章的教学重点呢？一是要有助于对初中数学的理解，二是要能为高中数学的学习扫除障碍．换句话说，学习集合与逻辑，要着眼于用集合与逻辑的知识解决数学学习中的问题，而不要在概念的严谨性、知识的系统性上花过多的时间与精力．像逻辑中有很多问题，在学术界内部都有争论，在高一数学课上，就完全没有必要去涉及了．

　　⒊使用数学符号要规范

　　本章教材有很多集合与逻辑的数学符号，这些符号的采用，依据的是新的国家标准，其中有些符号与原教科书不同，在教学时应该注意．

　　

　　

篇五：集合教材分析

　　1集合的概念和表示方法教材分析集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合．教学目标1.初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法．2.初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质．3.掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力．任务分析这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握．教学设计一、问题情境1.在初中，我们学过哪些集合？2.在初中，我们用集合描述过什么？学生讨论得出：在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．3.“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？学生讨论得出：“全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”，……4.请写出“小于10”的所有自然数．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．这些可以构成一个集合．5.什么是集合？二、建立模型1.集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义）（1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．（2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素．（3）集合中的元素与集合的关系：a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A；

　　a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作aA．

　　例：设B＝｛1，2，3｝，则1∈B，4B．

　　2.集合中的元素具备的性质（1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了．如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的．（2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的．例：若集合A＝｛a，b｝，则a与b是不同的两个元素．（3）无序性：集合中的元素无顺序．例：集合｛1，2｝与集合｛2，1｝表示同一集合．3.常用的数集及其记法全体非负整数的集合简称非负整数集（或自然数集），记作N．非负整数集内排除0的集合简称正整数集，记作N*或N+；全体整数的集合简称整数集，记作Z；全体有理数的集合简称有理数集，记作Q；全体实数的集合简称实数集，记作R．4.集合的表示方法［问题］如何表示方程x2－3x＋2＝0的所有解？（1）列举法列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法．例：x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛1，2｝．（2）描述法描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．例：①x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛x｜x2－3x＋2＝0｝．②不等式x－3＞2的解集可表示为｛x｜x－3＞2｝．③Venn图法例：x2－3x＋2＝0的解集可以表示为（1，2）．5.集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，A＝｛1，2｝．（2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，N．

　　（3）空集：不含任何元素的集合，记作．例如，｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝＝．

　　注：对于无限集，不宜采用列举法．三、解释应用［例题］1.用适当的方法表示下列集合．（1）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数．（2）平面内到一个定点O的距离等于定长l（l＞0）的所有点P．（3）在平面a内，线段AB的垂直平分线．（4）不等式2x－8＜2的解集．2.用不同的方法表示下列集合．（1）｛2，4，6，8｝．（2）｛x｜x2＋x－1＝0｝．（3）｛x∈N｜3＜x＜7｝．3.已知A＝｛x∈N｜66－x∈N｝．试用列举法表示集合A．（A＝｛0，3，5｝）4.用描述法表示在平面直角坐标中第一象限内的点的坐标的集合．［练习］1.用适当的方法表示下列集合．（1）构成英语单词mathematics（数字）的全体字母．

　　（2）在自然集内，小于1000的奇数构成的集合．（3）矩形构成的集合．2.用描述法表示下列集合．

　　（1）｛3，9，27，81，…｝．（2）四、拓展延伸把下列集合“翻译”成数学文字语言来叙述．（1）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．（2）｛y｜y＝x2＋1，x∈R｝．（3）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．（4）｛x｜y＝x2＋1，y∈N*｝．点评这篇案例注重新、旧知识的联系与过渡，以旧引新，从学生的原有知识、经验出发，创设问题情境；从实例引出集合的概念，再结合实例让学生进一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法．非常注重实例的使用是这篇案例的突出特点．这样做，通俗易懂，使学生便于学习和掌握．例题、练习由浅入深，对培养学生的理解能力、表达能力、思维能力大有裨益．拓展延伸注重数学语言的转化和训练，注重区分形似而质异的数学问题，加强了学生对数学概念的理解和认识．2集合之间的关系教材分析集合之间的关系是集合运算的基础和前提，是用集合观点理清集合之间内在联系的桥梁和工具．这节内容是对集合的基本概念的深化，延伸，首先通过类比、实例引出子集的概念，再结合实例加以说明，然后通过实例说明子集包括真子集和两集合相等两种情况．这节内容的教学重点是子集的概念，教学难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别．教学目标1.通过对子集概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念产生和形成的过程，培养学生的抽象、概括能力．2.了解集合的包含、相等关系的意义，理解子集、真子集的概念，培养学生对数学的理解能力．3.通过对集合之间的关系即子集的学习，初步体会数学知识发生、发展、运用的过程，培养学生的科学思维方法．任务分析这节内容是在学生已经掌握了集合的概念和表示方法以及两个实数之间有大小关系的基础上，进一步学习和研究两个集合之间的关系，采用从实例入手，由具体到抽象，由特殊到一般，再由抽象、一般到具体、特殊的方法，知识的产生、发生比较自然，易于学习、接受和掌握；采用分类讨论的方法阐述子集包括真子集、等集（两集合相等）两种情况，这可以使学生更好地认识子集、真子集、等集三者之间的内在联系．教学设计一、问题情境1.元素与集合之间的关系是什么？元素与集合是从属关系，即对一个元素x是某集合A中的元素时，它们的关系为x∈A．若

　　一个对象x不是某集合A中的元素时，它们的关系为xA．

　　2.集合有哪些表示方法？列举法，描述法，Venn图法．数与数之间存在着大小关系，那么，两个集合之间是不是也存在着类似的关系呢？先看下面两个集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝．它们之间有什么关系呢？二、建立模型

　　1.引导学生分析讨论集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素．集合B中的元素4，5不是集合A中的元素．2.与学生共同归纳，明晰子集的定义对于上述问题，教师点拨，A是B的子集，B不是A的子集．子集：对于两个集合A，B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即集合A

　　包含于集合B，或集合B包含集合A，记作AB（或BA），就说集合A是集合B的子

　　集．

　　用符号语言可表示为：如果任意元素x∈A，都有x∈B，那么AB．规定：空集是任何集

　　合的子集，即对于任意一个集合A，有

　　A．

　　3.提出问题，组织学生讨论给出三个集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝，C＝｛1，2，3｝．（1）A是B的子集吗？B是A的子集吗？（2）A是C的子集吗？C是A的子集吗？4.教师给出真子集与两集合相等的定义上述问题中，集合A是集合B的子集，并且集合B中有元素不属于集合A，这时，我们就说集合A是集合B的真子集；集合A是集合C的子集，且集合A与集合C的元素完全相

　　同，这时，我们就说集合A与集合C相等．真子集：如果集合A是集合B的子集，即A

　　B，并且B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫作集合B的真子集，记作A

　　B或BA．

　　AB的Venn图为两集合相等：如果集合A中的每一个元素都是集

　　合B中的元素，即AB，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A中的元素，即B

　　A，那么就说集合A等于集合B，记作A＝B．

　　A＝B的Venn图为

　　思考：设A，B是两个集合，AB，AB，A＝B三者之间的关系是怎样的？5.子集、真子集的有关性质由子集、真子集的定义可推知：

　　（1）对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．

　　（2）对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．（3）AA．（4）空集是任何非空集合的真子集．三、解释应用［例题］1.用适当的符号（∈，，＝，，）填空．（1）3___________｛1，2，3｝．（2）5___________｛5｝．

　　（3）4___________｛5｝．（4）｛a｝___________｛a，b，c｝．（5）0___________．（6）｛a，b，c｝___________｛b，c｝．

　　（7）___________｛0｝．（8）___________｛｝．

　　（9）｛1，2｝___________｛2，1｝．（10）G＝｛x｜x是能被3整除的数｝___________H＝｛x｜x是能被6整除的数｝．2.写出集合｛a，b｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．3.说出下列每对集合之间的关系．（1）A＝｛1，2，3，4，｝，B＝｛3，4｝．（2）P＝｛x｜x2＝1｝，Q＝｛-1，1｝．（3）N，N*．（4）C＝｛x∈R｜x2＝-1｝，D＝｛0｝．

　　［练习］1.用适当的符号（∈，，＝，，）填空．（1）a___________｛a｝．（2）b___________｛a｝．

　　（3）___________｛1，2｝．（4）｛a，b｝___________｛b，a｝．

　　（5）A＝｛1，2，4｝___________B＝｛x｜x是8的正约数｝．2.求下列集合之间的关系，并用Venn图表示．

　　A＝｛x｜x是平行四边形｝，B＝｛x｜x是菱形｝，C＝｛x｜x是矩形｝，D＝｛x｜x是正方形｝．

　　拓展延伸填表

　　表2-1

　　集合

　　集合中元素的个数子集的个数真子集的个数

　　｛a｝

　　1

　　｛a，b｝

　　2

　　｛a，b，c｝

　　3

　　｛a，b，c，d｝4

　　…

　　…

　　（1）你能找出“集合中元素的个数”与“子集的个数”、“真子集的个数”之间关系吗？（2）如果一个集合中有n个元素，你能写出计算它的所有子集个数与真子集个数的公式吗？（用n表达）点评这篇案例结构严谨，思路清晰，概念和关系的引出注重从具体到抽象、从特殊到

　　一般、从感性到理性的认识过程．具体地说就是，先结合实例研究两个具体集合的关系，从

　　而引出子集的定义，然后再结合实例说明AB，包括AB，A＝B两种情况，再给出真

　　子集、等集的定义．这样的处理方式，符合学生的认知规律，符合新课程的理念，例题与练习由浅入深，注重数形结合，使学生从不同角度加深了对集合之间的关系的理解．拓展延伸注重培养学生从特殊到一般地解决数学问题的能力．值得注意的是，在引出子集定义时，最好明确指出，集合之间的“大小”关系实质上就是包含关系．6函数的概念教材分析与传统课程内容相比，这节内容的最大变化就是函数概念的处理方式．事实上，

　　“先讲映射后讲函数”比“先讲函数后讲映射”，有利于学生更好地理解函数概念的本质．第一，在初中函数学习基础上继续深入学习函数，衔接自然，利于学生在原有认知基础上提升对函数概念的理解；第二，直接进入函数概念的学习更有利于学生将注意力放在理解函数概念的学习上，而不必花大量精力学习映射，使其认识映射与函数的关系后才能理解函数的概念．函数概念是中学数学中最重要的概念之一．函数概念、思想贯穿于整个中学教材之中．通过实例，引导学生通过自己的观察、分析、归纳和概括，获得用集合与对应语言刻画的函数概念．对函数概念本质的理解，首先应通过与初中定义的比较、与其他知识的联系以及不断地应用等，初步理解用集合与对应语言刻画的函数概念．其次在后续的学习中通过基本初等函数，引导学生以具体函数为依托、反复地、螺旋式上升地理解函数的本质．教学重点是函数的概念，难点是对函数概念的本质的理解．教学目标1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．3.了解映射的概念．任务分析学生在初中对函数概念有了初步的认识．这节课的任务是在学生原认知水平的基础上，用集合与对应的观点认识函数，了解构成函数定义的三要素，认识映射与函数是一般与特殊的关系．教学设计一、问题情景1.一枚炮弹发射后，经过60s落到地面击中目标．炮弹的射高为4410m，且炮弹距地面的高度h随时间t的变化规律是h＝294t－4.9t2，（0≤t≤60，0≤h≤4410）．2.近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979年到2001年的变化情况．

　　3.国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．

　　表6-1

　　“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况

　　时间（年）

　　19911992199319941995199619971998199920002001

　　恩格尔系数（%）53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9

　　问题：分析以上三个实例，对任一个给定的ｔ，射高ｈ、臭氧层空洞面积Ｓ、恩格尔系数是

　　否有值与之对应？若有，有几个？

　　二、建立模型

　　1.在学生充分分析和讨论的基础上，总结归纳以上三个实例的共同特点在三个实例中，变量之间的关系都可以描述成两个集合间的一种对应关系：对于数集Ａ中的任一个ｘ，按照某

　　个对应关系，在数集Ｂ中都有唯一确定的值与之对应．

　　2.教师明晰通过学生的讨论归纳出函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任一个x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f（x），x∈A．其中，x叫作自变量，

　　x的取值范围A叫作函数的定义域，与x的值相对应的y叫作函数值，函数值的集合：｛y｜y＝f（x），x∈A｝叫作函数的值域．注意：（1）从函数的定义可以看出：函数由定义域、对应法则、值域三部分组成，它们称为函数定义的三要素．其中，y＝f（x）的意义是：对任一x∈A，按照对应法则f有唯一y与之对应．（2）在函数定义的三个要素中，核心是定义域和对应法则，因此，只有当函数的对应关系和定义域相同时，我们才认为这两个函数相

　　同．思考：函数f（x）＝

　　与g（x）＝是同一函数吗？

　　三、解释应用［例题］

　　1.指出下列函数的定义域、值域、对应法则各是什么？如何用集合与对应的观点描述它们？

　　（1）y＝1，（x∈R）．

　　（2）y＝ax＋b，（a≠0）．

　　（3）y＝ax2＋bx＋c，（a＞0）．

　　（4）y＝kx，（k≠0）．

　　解：（3）定义域：｛x｜x∈R｝，值域：｛y｜y≥2＋b·（自变量）＋c，即：f：x→ax2＋bx＋c（1），（2），（4）略．

　　｝对应法则f：自变量→a（自变量）

　　2.已知：函数f（x）＝

　　（1）求函数的定义域．

　　（2）求f（－3），f（）的值．（3）当a＞0时，求f（a），f（a－1）的值．目的：深化对函数概念的理解．3.求下列函数的值域．（1）f（x）＝2x．（2）f（x）＝1－x＋x2，（x∈R）．（3）y＝3－x，（x∈N）．

　　解：（1）｛y｜y≠0｝．（2）｛y｜y≥｝．（3）｛3，2，1，0，－1，－2，…｝．4.（1）已知：f（x）＝x2，求f（x－1）．（2）已知：f（x－1）＝x2，求f（x）．目的：深化对函数符号的理解．解：（1）f（x－1）＝（x－1）2．（2）f（x－1）＝x2＝［（x－1）＋1］2＝（x－1）2＋2（x－1）＋1．∴f（x）＝x2＋2x＋1．［练习］1.求下列函数的定义域．

　　2.已知二次函数f（x）＝x2＋a的值域是［－2，＋∞），求a的值．3.函数f（x）＝［x］，［x］表示不超过x的最大整数，求：（1）f（3.5），（2）f（－3.5）．四、拓展延伸在函数定义中，将数集推广到任意集合时，就可以得到映射的概念．集合A＝｛a1，a2｝到集合B＝｛b1，b2｝的映射有哪几个？解：共有4个不同的映射．

　　思考：集合A＝｛a1，a2，a3｝到B＝｛b1，b2，b3｝的映射有多少个？点评这篇案例设计完整，条理清楚．案例从三个方面（实际是函数的三种表示方法，为后续内容埋下伏笔）各举一个具体事例，从中概括出函数的本质特征，得出函数概念，体现了由具体到抽象的认知规律，有利于学生理解函数概念，更好地体现了数学从实践中来．例题、练习由浅入深，完整，全面．映射的概念作为函数概念的推广，处理方式有新意．“拓展延伸”的设计为学生加深对概念的理解，提供了素材．在“问题情景”中的三个事例中，第一个例子中的“对应关系”比较明显，后两个例子则不太明显．如果能在教学设计中加以细致对比说明，效果会更好．7函数的表示方法教材分析函数的表示方法是对函数概念的深化与延伸．解析法、图像法和列表法从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．这三种表示方法既可以独立的表示函数，又可以相互转化；既各有侧重和优势，又各有劣势和不足；既相互补充，又使函数随自变量的变化而变化的规律直观和具体．这节内容，是初中有关内容的深化、延伸与提高．教材在复习初中三种表示方法定义的基础上，分三个层次对三种表示方法进行了比较．第一个层次：回顾与比较；第二个层次：选择与比较；第三个层次：转化与比较．教学重点：画简单函数的图像；教学难点：分段函数的解析式求法及其图像的作法．教学目标1.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并解简单应用．3.能根据简单的实际问题，建立函数关系式，画出它们的图像，进一步理解、体会函数的意义．任务分析学生在初中已经对这节内容有了初步的认识．这节的教学任务是在学生原认知水平的基础上，用对应的观点认识函数，会根据不同需要选择恰当的方法表示函数，明确三种表示方法各有优劣，在一定条件下可以相互转化．为突出根据简单的实际问题建立函数关系式，画出它们的图像这个重点，除学习教材中的实际问题外，又增加了练习．为突破分段函数这个难点增加了高斯函数作为练习．教学设计一、问题情景1.复习引入（1）复习初中三种函数的表示方法．（2）学生回答函数三种表示方法的定义．2.方法探究（1）复习与比较例：某种笔记本的单价是5元，买x（x∈｛1，2，3，4，5｝）个笔记本需要y元．试用三种表示方法表示函数y＝f（x）．（2）引导学生分析讨论①三种表示方法的各自的特点是什么？所有的函数都能用解析法表示吗？②函数图像上的点满足什么条件？满足函数关系式y＝f（x）的点（x，y）在什么地方？二、建立模型1.教师明晰函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．采用解析法的条件：变量间的对应法则明确；采用图像法的条件：函数的变化规律清晰；采用列表法的条件：函数值的对应清楚．函数图像上的点满足函数关系式y＝f（x），满足函数关系式y＝f（x）的点（x，y）在函数

　　图像上，故函数图像即为点集p＝｛（x，y）｜y＝f（x），x∈A｝．2.比较与分析例：下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分：表7-1

　　第一次第二次第三次第四次第五次第六次

　　王伟

　　98

　　87

　　91

　　92

　　88

　　95

　　张城

　　90

　　76

　　88

　　75

　　86

　　80

　　赵磊

　　68

　　65

　　73

　　72

　　75

　　82

　　班级平均分

　　88.2

　　78.3

　　85.4

　　80.3

　　75.7

　　82.6

　　请你对这三名同学在高一学年度的数学学习情况进行分析．学生分析讨论：本例是用何种方法表示函数的？要分析“成绩”与“测试次数”之间的变化规律，用何种方法表示函数？注意：在这里选择何种表示方法，要根据问题的具体情况和三种表示方法的长处来确定．3.教师进一步明晰将“成绩”与“测试次数”之间的函数关系用函数图像表示出来，就能比较直观地看到成绩的变化情况．4.转化与比较例：画出函数y＝｜x｜的图像．5.教师归纳、整理初中作函数图像的基本方法是列表、描点和连线，但这个方法比较烦琐．我们可以把初中学过的一次函数、反比例函数、二次函数的图像作为基本图像，把要作的函数的图像转化为基本函数的图像来解决．y＝｜x｜，若不含“｜｜”号，则是我们初中学过的y＝x，现在含绝对值号，故去绝对值号，

　　得分段函数

　　而分段函数的图像只要分段作出即可．

　　三、解释应用［练习一］1.作出y＝｜x－1｜的图像，与函数y＝｜x｜的图像比较，并说出你发现了什么．2.作出y＝x2＋2｜x｜＋1的图像．3.若x2＋2｜x｜＋1＝m，当m为何值时，关于x的方程有四个解？三个解？两个解？无解？［例题］某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车不超过5km，票价2元．（2）超过5km，每增加5km，票价增加1元．（不足5km的按5km计算）已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1km，如果沿途（包括起点站和终点站）有21个汽车站，请根据题意写出票价与路程之间的函数解析式，并画出函数的图像．学生分析讨论：函数定义域是什么？值域是什么？图像如何作？教师引导学生写出如下解答过程．解：设票价为y元，路程为xkm．如果某空调汽车运行路线中设21个汽车站，那么汽车行驶的路程约为20km，故自变量x的取值范围是x∈（0，20］，且x∈N，函数y的取值范围是y∈｛2，3，4，5｝．由空调汽车票价的规定，可得到以下函数解析式：

　　根据这个函数解析式，可画出函数的图像

　　函数图像共有20个点构成．像例3、例4这样的函数称为分段函数，分段函数的图像应分段作．［练习二］1.下图都是函数的图像吗？为什么？

　　（D）目的：进一步深化对函数概念和函数图像的理解．2.某人从甲镇去乙村，一开始沿公路乘车，后来沿小路步行，图中横轴表示运动的时间，纵轴表示此人与乙村的距离，则较符合该人走法的图像是（D）

　　3.小明从甲地去乙地，先以每小时5km的速度行进1h，然后休息10min，最后以每小时4km的速度行进了30min到达乙地．（1）试写出速度v（km／h）关于出发时间t（h）的函数关系式，并画出图像．（2）试写出小明离开甲地s（km）关于出发时间t（h）的函数关系，并画出图像．

　　四、拓展延伸1.设x是任意的一个函数，y是不超过x的最大整数，记作：y＝［x］，问：x与y之间是

　　否存在函数关系？如果存在，写出这个函数的解析式，并画出这个函数的图像．答案：存在函数关系，是著名的高斯函数．现只写出x∈［－1，1］的函数关系：y＝

　　图像略．

　　2.某家庭2004年1月份、2月份和3月份煤气用量和支付费用如下表所示：

　　表7-2

　　月份

　　用气量

　　煤气费

　　1月份

　　4m2

　　4元

　　2月份

　　25m2

　　14元

　　3月份

　　35m2

　　19元

　　该市煤气的收费方法是：煤气费＝基本费＋超额费＋保险费．

　　若每月量不超过最低限度Am3，则只付基本费3元和每月每户的定额保险C元；若用气量超过Am3，超过部分每立方米付B元，又知保险费C不超过5元．根据上面的表格，求A，B，C．分析：可设每月用气量xm3，支付费用y元，建立函数解析式解之．解：设每月用气xm3，支付费用y元，则

　　由0＜C≤5，得3＋C≤8．由第2和3月份的费用都大于8，得

　　两式相减，得B＝0.5，∴A＝2C＋3．

　　再分析1月份的用气量是否超过最低限度．不妨令A＜4，将x＝4代入3＋B（x－A）＋C，得3＋0.5［4－（3＋2C）］＋C＝4，由此推出3.5＝4，矛盾，∴A≥4，1月份付款方式为3＋C．∴3＋C＝4．∴C＝1．∴A＝5．∴A＝5，B＝0.5，C＝1．点评这篇案例分三个层次对三种表示方法进行了比较：第一层次：用一个简单的例子对函数的三种表示方法进行了复习和比较；第二层次：对函数的三种表示方法进行了比较，选择了适当的方法表示函数；第三层次：三种表示函数的方法的相互转化．三个层次，层层深入，并对三种表示方法的优、劣进了比较，重点突出．拓展延伸通过高斯函数，加深了学生对抽象函数、分段函数的认识．在注重三种表示方法的同时，加强了学生应用意识的培养．8函数的单调性教材分析函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起．在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．这节内容的重点是理解函数单调性的概念以及利用函数的单调性的概念

　　证明函数的单调性，难点是理解函数单调性的概念．教学目标1.通过对增函数、减函数概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念的产生和形成过程，培养学生从特殊到一般的抽象概括能力．2.掌握增函数、减函数等函数单调性的概念，理解函数增减性的几何意义，并能初步运用所学知识判断或证明一些简单函数的单调性，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．3.通过对函数单调性的学习，初步体会知识发生、发展、运用的过程，培养学生形成科学的思维．任务分析这节内容学生在初中已有了较为粗略的认识，即主要根据观察图像得出结论．这节函数增减性的定义，是运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，学生接受起来可能比较困难．在引入定义时，要始终结合具体函数的图像来进行，以增强直观性，采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，便于学生理解．对于定义，要注意对区间上所取两点x1，x2的“任意性”的理解，多给学生操作与思考的时间和空间．教学设计一、问题情境1.如图为某市一天内的气温变化图：

　　（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．

　　（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？

　　2.分别作出下列函数的图像：

　　（1）y＝2x．

　　（2）y＝－x＋2．

　　（3）y＝x2．

　　根据三个函数图像，分别指出当x∈（－∞，＋∞）时，图像的变化趋势？

　　二、建立模型1.首先引导学生对问题2进行探讨———观察分析

　　观察函数y＝2x，y＝－x＋2，y＝x2图像，可以发现：y＝2x在（－∞，＋∞）上、y＝x2在

　　（０，＋∞）上的图像由左向右都是上升的；y＝－x＋2在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（－

　　∞，０）上的图像由左向右都是下降的．函数图像的“上升”或“下降”反映了函数的一个基本

　　性质———单调性．那么，如何描述函数图像“上升”或“下降”这个图像特征呢？以函数y＝

　　x2，x∈（－∞，０）为例，图像由左向右下降，意味着“随着x的增大，相应的函数值y＝f

　　（x）反而减小”，如何量化呢？取自变量的两个不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，这时有

　　x1＜x2，f（x1）＞f（x2），但是这种量化并不精确．因此，x1，x2应具有“任意性”．所以，

　　在区间（－∞，0）上，任取两个x1，x2得到f（x1）＝，f（x2）＝．当x1＜x2时，

　　都有f（x1）＞f（x2）．这时，我们就说f（x）＝x2在区间（－∞，0）上是减函数．注意：在这里，要提示学生如何由直观图像的变化规律，转化为数学语言，即自变量ｘ变化时对函数值y的影响．必要时，对x，y可举出具体数值，进行引导、归纳和总结．这里的“都有”是对应于“任意”的．2.在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上，教师明晰———抽象概括设函数f（x）的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是增函数［如图8-2（1）］．如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2

　　时，都有f（x1）＞f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是减函数［如图8-2（2）］．

　　如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作y＝f（x）的单调区间．3.提出问题，组织学生讨论（1）定义在R上的函数f（x），满足f（2）＞f（1），能否判断函数f（x）在R是增函数？（2）定义在R上函数f（x）在区间（－∞，0］上是增函数，在区间（0，＋∞）上也是增函数，判断函数f（s）在R上是否为增函数．（3）观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．强调：定义中x1，x2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的．三、解释应用［例题］1.证明函数f（x）＝2x＋1，在（－∞，＋∞）是增函数．

　　注：要规范解题格式．2.证明函数f（x）＝，在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是

　　减函数．思考：能否说，函数f（x）＝在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数？3.设函数y＝f（x）在区间D上保号（恒正或恒负），且f（x）在区间D上为增函数，求证：

　　f（x）＝

　　在区间D上为减函数．

　　证明：设x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，

　　∵f（x）在区间D上保号，∴f（x1）f（x2）＞0．又f（x）在区间D上为增函数，∴f（x1）－f（x2）＜0，从而g（x1）－g（x2）＞0，∴g（x）在D上为减函数．

　　［练习］1.证明：（1）函数f（x）＝在（0，＋∞）上是增函数．

　　（2）函数f（x）＝x2－x在（－∞，］上是减函数．2.判断函数的单调性，并写出相应的单调区间．

　　3.如果函数y＝f（x）是R上的增函数，判断g（x）＝kf（x），（k≠0）在R上的单调性．四、拓展延伸1.根据图像，简要说明近150年来人类消耗能源的结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．

　　2.判断二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的单调性，并用定义加以证明．3.如果自变量的改变量Δx＝x2－x1＜0，函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）＞0，那么函数f（x）在区间D上是增函数还是减函数？

　　4.函数值的改变量与自变量的改变量的比平均变化率．

　　叫作函数f（x）在x1，x2之间的

　　（1）根据函数的平均变化率判断y＝f（x）在区间D上是增函数还是减函数．

　　（2）比值的大小与函数值增长的快慢有什么关系？

　　点评这篇案例设计完整，思路清晰．案例首先通过实例阐述了函数单调性产生的背景，

　　归纳、抽象概括出了增函数、减函数的定义，充分体现了数学教学的本质是数学思维过程的

　　教学，符合新课程标准的精神．例题与练习由浅入深，完整，全面．“拓展延伸”的设计有新

　　意，有深度，为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台．

　　这篇案例的突出特点，体现在如下几个方面：

　　1.强调对基本概念和基本思想的理解和掌握由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概

　　念的来龙去脉．在数学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中

　　逐步理解概念的本质．

　　2.注重联系，提高对数学整体的认识数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力．在

　　高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，

　　数学与其他学科的联系．例如，通过研讨本节课“拓展延伸”中的第1个问题，可以大大提高

　　了学生学习的积极性和主动性．

　　3.注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力在数学教学中，应注重发展

　　学生的应用意识；通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经

　　历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值，帮助学生认识到：数学与我有关，与实际

　　生活有关；数学是有用的，我要用数学，我能用数学．

　　9函数的奇偶性

　　教材分析

　　函数的奇偶性是函数的重要性质，是对函数概念的深化．它把自变量取相反数时函数值间的

　　关系定量地联系在一起，反映在图像上为：偶函数的图像关于ｙ轴对称，奇函数的图像关于

　　坐标原点成中心对称．这样，就从数、形两个角度对函数的奇偶性进行了定量和定性的分

　　析．教材首先通过对具体函数的图像及函数值对应表归纳和抽象，概括出了函数奇偶性的准

　　确定义．然后，为深化对概念的理解，举出了奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数的函

　　数和非奇非偶函数的实例．最后，为加强前后联系，从各个角度研究函数的性质，讲清了奇

　　偶性和单调性的联系．这节课的重点是函数奇偶性的定义，难点是根据定义判断函数的奇偶

　　性．教学目标1.通过具体函数，让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论，体验数学概念的建立过程，培养其抽象的概括能力．2.理解、掌握函数奇偶性的定义，奇函数和偶函数图像的特征，并能初步应用定义判断一些简单函数的奇偶性．3.在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、抽象概括能力，体验数学既是抽象的又是具体的．任务分析这节内容学生在初中虽没学过，但已经学习过具有奇偶性的具体的函数：正比例

　　函数y＝kx，反比例函数

　　，（k≠0），二次函数y＝ax2，（a≠0），故可在此基础上，引

　　入奇、偶函数的概念，以便于学生理解．在引入概念时始终结合具体函数的图像，以增加直

　　观性，这样更符合学生的认知规律，同时为阐述奇、偶函数的几何特征埋下了伏笔．对于概

　　念可从代数特征与几何特征两个角度去分析，让学生理解：奇函数、偶函数的定义域是关于

　　原点对称的非空数集；对于在有定义的奇函数y＝f（x），一定有f（0）＝0；既是奇函数，

　　又是偶函数的函数有f（x）＝0，x∈R．在此基础上，让学生了解：奇函数、偶函数的矛盾

　　概念———非奇非偶函数．关于单调性与奇偶性关系，引导学生拓展延伸，可以取得理想效

　　果．

　　教学设计一、问题情景1.观察如下两图，思考并讨论以下问题：

　　（1）这两个函数图像有什么共同特征？（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征

　　的？

　　可以看到两个函数的图像都关于y轴对称．从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相同．对于函数f（x）＝x2，有f（－3）＝9＝f（3），f（－2）＝4＝f（2），f（－1）＝1＝f（1）．事实上，对于R内任意的一个x，都有f（－x）＝（－x）

　　2＝x2＝f（x）．此时，称函数y＝x2为偶函数．2.观察函数f（x）＝x和f（x）＝的图像，并完成下面的两个函数值对应表，然后说出这两个函数有什么共同特征．

　　可以看到两个函数的图像都关于原点对称．函数图像的这个特征，反映在解析式上就是：当自变量ｘ取一对相反数时，相应的函数值f（x）也是一对相反数，即对任一x∈R都有f（－x）＝－f（x）．此时，称函数y＝f（x）为奇函数．二、建立模型由上面的分析讨论引导学生建立奇函数、偶函数的定义1.奇、偶函数的定义如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫作奇函数．如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫作偶函数．2.提出问题，组织学生讨论（1）如果定义在R上的函数f（x）满足f（－2）＝f（2），那么f（x）是偶函数吗？（f（x）不一定是偶函数）（2）奇、偶函数的图像有什么特征？（奇、偶函数的图像分别关于原点、y轴对称）（3）奇、偶函数的定义域有什么特征？（奇、偶函数的定义域关于原点对称）三、解释应用［例题］1.判断下列函数的奇偶性．

　　注：①规范解题格式；②对于（5）要注意定义域x∈（－1，1］．2.已知：定义在R上的函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（1＋x），求f（x）的表达式．解：（1）任取x＜0，则－x＞0，∴f（－x）＝－x（1－x），而f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）．∴f（x）＝x（1－x）．（2）当x＝0时，f（－0）＝－f（0），∴f（0）＝－f（0），故f（0）＝0．

　　3.已知：函数f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上是减函数，判断f（x）在（0，＋∞）上是增函数，还是减函数，并证明你的结论．解：先结合图像特征：偶函数的图像关于y轴对称，猜想f（x）在（0，＋∞）上是增函数，证明如下：任取x1＞x2＞0，则－x1＜－x2＜0．

　　∵f（x）在（－∞，0）上是减函数，∴f（－x1）＞f（－x2）．又f（x）是偶函数，∴f（x1）＞f（x2）．∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数．思考：奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系？［练习］1.已知：函数f（x）是奇函数，在［a，b］上是增函数（b＞a＞0），问f（x）在［－b，－a］上的单调性如何．2.f（x）＝－x3｜x｜的大致图像可能是（）

　　3.函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a，b，c∈R），当a，b，c满足什么条件时，（1）函数f（x）是偶函数．（2）函数f（x）是奇函数．4.设f（x），g（x）分别是R上的奇函数和偶函数，并且f（x）＋g（x）＝x（x＋1），求f（x），g（x）的解析式．四、拓展延伸1.有既是奇函数，又是偶函数的函数吗？若有，有多少个？2.设f（x），g（x）分别是R上的奇函数，偶函数，试研究：（1）F（x）＝f（x）·g（x）的奇偶性．（2）G（x）＝｜f（x）｜＋g（x）的奇偶性．

　　3.已知a∈R，f（x）＝a－

　　，试确定a的值，使f（x）是奇函数．

　　4.一个定义在Ｒ上的函数，是否都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和的形式？

　　点评这篇案例设计由浅入深，由具体的函数图像及对应值表，抽象概括出了奇、偶函数的

　　定义，符合学生的认知规律，有利于学生理解和掌握．应用深化的设计层层递进，深化了学

　　生对奇、偶函数概念的理解和应用．拓展延伸为学生思维能力、创新能力的培养提供了平台．

　　10二次函数

　　教材分析

　　二次函数是重要的基本函数之一，由于它存在最值，因此，其单调性在实际问题中有广泛的

　　应用，并且它与前面学过的二次方程有密切联系，又是后面学习解一元二次不等式的基础．二

　　次函数在初中学生已学过，主要是定义和解析式，这里，在此基础上，接着学习二次函数的

　　性质与图像，进而使学生对二次函数有一个比较完整的认识．本节先研究特殊的二次函数y

　　＝ax2，（a≠0）的图像与a值的关系，这可通过a在0的附近取值画图观察得到．然后，通

　　过一个实例，如y＝x2＋4x＋6，研讨二次函数的性质与图像．最后，总结出一般性结论．这节内容的重点是二次函数的性质，即顶点坐标、对称轴方程、二次函数的单调性及其图像，难点是用配方法把y＝ax2＋bx＋c的形式转化为y＝a（x－h）2＋k的形式．教学目标1.通过一个例子研究二次函数的图像和性质，得到一般性结论，培养学生归纳、抽象能力．2.掌握二次函数的概念、表达式、图像与性质．会用配方法解决有关问题，能熟练地求二次函数的最值．3.能初步运用二次函数解决一些实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力．

　　任务分析学习这节内容时要先复习一下学生初中学过的二次函数的有关问题．为了得到y＝ax2，（a≠0）的图像与a的关系以及二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，这里遵循由特例到一般的原则，充分利用图像的直观性，以便学生接受．在这一过程中，应讲明配方法的操作过程．教学设计一、复习引申1.什么是二次函数？2.在同一坐标系中作出下列函数的图像．（1）y＝－3x2．（2）y＝－2x2．（3）y＝－x2．（4）y＝－0.5x2．（5）ｙ＝0.5x2．（6）y＝x2．（7）y＝2x2．（8）y＝3x2．

　　3.学生讨论：函数y＝ax2中系数a的取值与它的图像形状有何关系？4.教师明晰：在a从－3逐渐变化到＋3的过程中，抛物线开口向下并逐渐变大，当a＝0时，y＝0，抛物线变为x轴，然后抛物线开口向上，并逐渐变小．

　　二、问题情境已知二次函数f（x）＝x2＋4x＋6．（1）求它与x轴的交点坐标．（2）问：它有没有最值？若有最大（小）值，最大（小）值是多少？试求出此时对应的自变量ｘ的值．（3）画出它的图像．（4）它的图像有没有对称轴？如果有，位置如何？（5）确定函数的单调区间．1.先让学生独立解答问题1，然后师生共同确定答案

　　（1）令y＝0，即x2＋4x＋6＝０，解得x1＝－6，x2＝－2．∴与ｘ轴交于两点（－6，0），（－2，0）．

　　（2）将原式配方，得f（x）＝x2＋4x＋6＝（x2＋8x＋12）＝

　　（x2＋8x＋16－16＋12）＝（x＋4）2－2．

　　∵对任意x∈R，都有（x＋4）2≥0，

　　∴f（x）≥－2，当且仅当x＝－4时，取“＝”号．∴函数有最小值是－2，记作ymin＝－2，此时x＝－4．

　　（3）以x＝－4为中间值，取x的一些值列表如下：表10-1

　　ｘ…－7－6－5

　　－4－3

　　－2－1…

　　ｙ…

　　0

　　－

　　－2

　　－

　　0

　　…

　　描点，画图．

　　（4）由上表及图像推测：二次函数f（x）的图像存在对称轴，并且对称轴过点（－4，－2），与y轴平行．（5）观察图像知：二次函数f（x）在（－∞，－4］上是减函数，在（－4，＋∞）上是增函

　　数．2.相关问题（1）对称轴与图像（抛物线）的交点叫抛物线的顶点，函数f（x）＝x2＋4x＋6的顶点坐标是（－4，－2）．（2）如果将过点（x1，0）平行于ｙ轴的直线记作x＝

　　x1，则函数f（x）＝x2＋4x＋6的对称轴为x＝－4．

　　（3）把f（x）＝x2＋4x＋6转化为f（x）＝（x＋4）2－2，采用的是“配方法”．（4）

　　思考：怎样证明函数f（x）＝x2＋4x＋6的图像关于直线x＝－4对称？［提示：证明f（－4＋h）＝f（－4－h）］（5）类似地，再对二次函数f（x）＝－x2－4x＋3研讨上面四个方面的问题．三、建立模型对任何二次函数y＝f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）都可以通过配方法化为y＝a

　　（x＋）2＋

　　的形式，并且有如下性质：1.二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）

　　的图像是一条抛物线，对称轴方程为x＝－，顶点坐标是（－，

　　）．

　　2.（1）当a＞0时，抛物线开口向上，函数在（－∞，－］上递减，在［－，＋∞）

　　上递增，当x＝－时，［f（x）］min＝

　　．（2）当a＜0时，抛物线开口向下，函

　　数在（－∞，－］上递增，在［－，＋∞）上递减，当x＝－时，［f（x）］max

　　＝

　　．思考：（1）二次函数的图像一定与x轴或y轴相交吗？

　　（2）函数y＝（x－1）2＋2，x∈［2，3］的最小值是2吗？

　　四、解释应用［例题］1.求函数y＝3x2＋2x＋1的最小值和它的图像的对称轴，并指出它的单调性．注：可利用上面的性质直接写出答案．2.某商品在最近一个月内价格f（t）与时间t的函数

　　关系式是f（t）＝＋22，（0≤t≤30，t∈N），售量g（t）与时间t的函数关系是g（t）＝

　　－

　　，（0≤t≤30，t∈N）．求这种商品的日销售额的最大值．

　　解：设该商品的日销售额为S，则

　　∵t∈N，∴当t＝10或t＝11时，Smax＝808.5．

　　答：这种商品日销额的最大值是808.5．注：本题是应用题，自变量t∈N，不能使

　　．

　　［练习］1.已知函数f（x）＝x2－2x－3，不计算函数值，试比较f（－2）和f（4），f

　　（－3）和f（3）的大小．

　　2.二次函数y＝f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），且方程f（x）＝0有两个实根x1，x2，

　　求x1＋x2．

　　3.已知函数f（x）＝2x2＋（a－1）x＋3在［2，＋∞）上递增，求a的取值范围．

　　4.抛物线y＝ax2＋bx与直线y＝ax＋b，（ab≠0）的图像（如下图）只可能是（）．

　　四、拓展延伸1.如果已知二次函数的图像（抛物线）的顶点坐标为（h，k），那么它的解析表达式如何？如果已知二次函数的图像（抛物线）与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），它的解析表达式又如何？2.用函数单调性的定义研究f（x）＝ax2＋bx＋c，（a＜0）的单调性．

　　3.证明函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的图像关于直线x＝－对称．点评这篇案例讲述了两个方面的知识点，一是特殊的二次函数y＝ax2，（a≠0）的图像随ａ值变化的规律性，二是二次函数的性质与图像．设计恰当，重点突出，即重点讲解二次函数的性质与图像．遵循由特殊到一般、由具体到抽象的原则，使结论便于被学生理解．例题与练习的选配难易适中，代表广泛，并有利于巩固本课重点知识．拓展延伸中提出的三个问题都是二次函数的重要特征，实用性强，并且所得结论对解决有关问题能起到事半功倍的效果．11指数函数教材分析指数函数是基本初等函数之一，在数学中占有重要地位，在实际中有着十分广泛的应用，如细胞分裂、考古中所用的14C的衰减、放射性物质的剩留量等都与指数函数有关．有理指数幂及其运算是学习指数函数的基础．教材首先通过实例引入什么是指数函数．然后给出三

　　个具体例子y＝2x，y＝10x，y＝（）x，用描点法画其图像，并借助图像，观察得出指数函数的定义域、值域、图像过定点（1，0）及单调性．最后配备恰当的习题及练习．在知识的形成过程中，体现图像观察、归纳猜想的思想．这节内容的重点是指数函数的图像与性质，难点是应用指数函数的性质解决相关问题．教学目标1.了解指数函数模型的实际背景．2.理解并掌握指数函数的定义、图像及性质．3.通过对指数函数的概念、性质的归纳、抽象和概括，体验数学知识的产生和形成的过程，培养学生的抽象概括能力．4.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的数学模型，培养学生的应用意识．任务分析学生在学习本节内容时，已学过了一些基本函数，如二次函数，并且学过有理指数幂及其运算，这均为学生学习这节内容奠定了基础．由应用问题建立指数函数模型是个难点，为此一定要使学生理解问题的意义，进而由少到多、由浅入深逐步建立起两个变量间的关系．要重视列表、画图像的过程，这样才有利于观察、归纳出指数函数的性质．要充分显示出知识的形成过程．教学设计一、问题情境某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……如果1个这样的细胞分裂x次后，得到细胞的个数为ｙ，试求y关于x的函数关系式．先由学生独立解答，然后教师明晰细胞分裂的规律是：每次每个细胞分裂为2个．当x＝0时，y＝1＝20；当x＝1时，y＝20×2＝21；当x＝2时，y＝21×2＝22；当x＝3时，y＝22×2＝23；……归纳：分裂x次，得到细胞的个数y＝2x，其中x∈N．二、建立模型1.学生讨论上面得到的函数y＝2x有何特点？（底数为常数，自变量在指数的位置上）2.教师明晰一般地，函数y＝ax，（a＞0且a≠1，x∈R）叫作指数函数．思考：为什么要限制a＞0且a≠1？

　　（理由：当a＝0，x≤0时，ax无意义；当a＜0时，如y＝（－2）无意义；当a＝1时，y

　　＝1x＝1是常数函数．没有研究的必要．）3.练习在同一坐标系内，画出下面三个指数函数的图像．

　　（1）y＝2x．（2）y＝10x．（3）y＝（）x．解：列表：

　　描点，画图：

　　4.观察上面的函数的图像，结合列表，归纳总结出指数函数y＝ax的性质（1）定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，＋∞）．（2）函数图像在x轴的上方且都过定点（0，1）．（3）当a＞1时，函数在定义域上是增函数，且当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1．当0＜a＜1时，函数在定义域上是减函数，且当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1．5.提出问题，组织学生讨论（1）函数y＝2x与y＝x2的图像有何关系？试对你的结论加以证明．（2）试举一个在生活、生产、科技等实际中与指数函数有关的例子．三、解释应用［例题］1.利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（1）1.72.5与1.73．（2）0.8-0.1与0.8-0.2．解：（1）考查指数函数y＝1.7x．∵1.7＞1，∴y＝1.7x在（－∞，＋∞）是增函数．又2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．（2）类似（1），得0.8-0.1＜0.8-0.2．思考：怎样比较1.70.3与0.93.1的大小？2.某种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%．画出这种物质的剩留量随时间变化的图像，并根据图像求出经过多少年，剩留量是原来的一半．（结果保留1个有效数字）解：设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，则经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；经过2年，剩留量y＝0.84×0.84＝0.842；……经过x年，剩留量y＝0.84x．列表：表11-3

　　x01

　　2

　　3

　　4

　　5

　　y10.840.710.590.500.42

　　画出指数函数y＝0.84x的图像：

　　由图上看出y＝0.5时，x≈4．答：约经过4年，剩留量是原来的一半．

　　说明：为便于观察，两轴上的单位长度可不相等．

　　3.说明下列函数的图像与指数函数y＝2x的图像的关系，并画出它们的草图．

　　（1）y＝2x＋1．

　　（2）y＝2x－2．

　　解：（1）比较函数y＝2x＋1与y＝2x的关系，知y＝2-1+1与y＝x0相等．

　　∴函数y＝2x＋1中的x＝－1时的y值，与函数y＝2x中的x＝0时的y值相等．

　　又y＝20+1与y＝x1相等；y＝23+1与y＝x4相等；

　　……∴将指数函数y＝2x的图像向左平行移动1个单位长度，即可得到函数y＝2x＋1的图

　　像．

　　（2）将指数函数y＝2x的图像向右平行移动2个单位长度，即可得到函数y＝2x-2的图像．

　　［练习］1.比较大小：（1）1.01-2与1.01-3.5．

　　（2）0.75-0.1与0.750.1．

　　2.画出下列函数的图像．（1）y＝3x．3.求下列函数的定义域．

　　（2）y＝（）x．

　　（１）y＝

　　．

　　（2）y＝

　　．

　　4.已知函数f（x）＝ax在［0，1］上的最大值与最小值之和为3，求a的值．

　　5.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，试写出存留污垢y与漂洗次数x的函数关系式．如果要使存留的污垢不超过原有的1%，那么至少要漂洗几次？四、拓展延伸1.在例题2中，函数y＝0.84x与函数y＝0.5的图像的交点横坐标是方程0.84x＝0.5的解吗？思考：你能判断出方程2x＋x2－2＝0有几个实数根吗？2.以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表：表11-4

　　身高／cm

　　60

　　70

　　80

　　90

　　100

　　110

　　体重／kg

　　6.137.909.9912.1515.0217.50

　　身高／cm

　　120130140150160170

　　体重／kg

　　20.9226.8631.1138.8547.2555.05

　　（1）根据表中提供的数据，能否从我们已经学过的函数y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝

　　，y＝a·bx中选择一种函数使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系？若能，求出这个函数解析式．（2）如果体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区某中学一男生身高为175cm，体重为78kg，问：他的体重是否正常？解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图如下．根据图，可考虑用函数y＝abx，反映上述数据之间的对应关系．

　　把x＝70，y＝7.90和x＝160，y＝47.25两组数据代入y＝a·bx，得

　　利用计算器计算，得a＝2，b＝1.02．所以，该地区未成年男性体重关于身高的近似函数式可选为y＝2×1.02x．将已知数据代入所得的函数解析式或作出所得函数的图像，可知所求函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系．（2）把x＝175代入y＝2×1.02x，得y＝2×1.02175．利用计算器计算，得y＝63.98．由于78÷63.98≈1.22＞1.2，因此，这名男生体型偏胖．点评这节课的中心问题有三个，即指数函数的定义、图像与性质，围绕这三个问题，这篇案例进行了精心设计：首先通过实例引入了指数函数的概念，再通过画具体的指数函数的图像归纳出一般指数函数的性质．这样安排有利于学生理解指数函数的概念，掌握指数函数的性质．选配的例题难易适中，具有典型性和代表性．练习由易到难，既可以巩固基础知识，又可以提高学生的解题技能．“拓展延伸”对本节中心内容进行了拓展，有用图像法求方程的解，判断方程根的个数；有函数图像的平移；还有应用题．这些都是数学中经常遇到的问题，它们的解决将有利于学生今后的学习．12对数函数教材分析对数函数是一类重要的函数模型，它与指数函数互为反函数．教材是在学生学过指数函数、对数及其运算的基础上引入对数函数的概念的．须要说明的是，这里与传统的教材有所不同，即没有先学习反函数，这对学生学习对数函数的概念、图像及性质有较大影响，使指数函数的知识点不能直接应用于对数函数的知识点，但从对数的定义中知道：指数式与对数式可互化．因此，在某些方面，如在画对数函数y＝log2x的图像列表时，可以把画指数函数y＝2x图像时列的表中的x与y的值对调．这节内容的重点是对数函数的概念、图像及性质，难点

　　是对数函数与指数函数的关系．教学目标1.通过具体实例，直观了解对数函数模型刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，并能画出具体对数函数的图像，掌握对数函数的图像和性质．2.知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数（a＞0且a≠1）．3.能应用对数函数的性质解有关问题．任务分析首先复习指数函数、对数的定义及对数的性质，这也是学习本节内容的基础．解析式x＝logay是函数，叫作对数函数，为了符合习惯，常写成y＝logax．这些内容学生较难理解，教学时要引起重视．教学中，要注意从实例出发，使学生从感性认识提高到理性认识；要注意运用对比的方法；要结合对数函数的图像抽象概括对数函数的性质．注意：不要求讨论形式化的函数定义，也不要求求已知函数的反函数，只须知道对数函数与指数函数互为反函数．教学设计一、问题情境同指数函数中的细胞分裂问题，即：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞的个数为y．我们已经知道，个数y是分裂次数x的函数，解析式是y＝2x．形式上是指数函数（这里的定义域是N）．思考：在这个问题中，细胞分裂的次数x是不是细胞分裂个数y的函数？若是，这个函数的解析式是什么？x也是y的函数，由对数的定义得到这个新函数是x＝log2y．其中，细胞的个数y是自变量，细胞分裂的次数x是函数．二、建立模型1.学生讨论（1）函数x＝log2y与指数函数y＝2x有何关系？（2）函数ｘ＝log2y中的自变量、字母与我们以前所学的函数有何区别？结论：问题（1）：两函数中的x表示的都是细胞分裂的次数，y表示的都是细胞分裂的个数，对应法则都是以2为底数，一个是取对数，一个是取指数，正好相逆．注意：这里不能说它们互为反函数，因为还没有学习反函数的概念．问题（2）：这里的自变量所用字母是y，以前学习的函数的自变量常用字母x，即这里的用法不合习惯．2.教师明晰定义：函数x＝long2y，（a＞0，且a≠1）叫作对数函数，它的定义域是（0，＋∞），值域是（－∞，＋∞）．由对数函数的定义可知，在指数函数y＝ax和对数函数x＝logay中，x，y两个变量之间的关系是一样的．不同的只是在指数函数y＝ax里，x是自变量，y是因变量，而在对数函数x＝logay中，y是自变量，x是因变量．习惯上，我们常用x表示自变量，y表示因变量，因此，对数函数通常写成y＝logay，（a＞0且a≠1，x＞0）．

　　3.练习在同一坐标系中画出下列函数的图像．（1）y＝long2x．（2）y＝

　　．

　　解：列表：表12-1

　　思考：上表中的x，y的对应值与指数函数中所列表的对应值有何关系？描点，画图：

　　4.观察上面的函数图像，结合列表，仿照指数函数的性质，归纳总结出对数函数的性质（1）定义域是（0，＋∞），值域是（－∞，＋∞）．（2）函数图像在y轴的右侧且过定点（1，0）．（3）当a＞1时，函数在定义域上是增函数，且当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0．当0＜a＜1时，函数在定义域上是减函数，且当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0．三、解释应用［例题］1.求下列函数的定义域．

　　（1）y＝log2x2．（2）y＝loga（4－x）．（3）y＝

　　．

　　解：（1）｛x｜x≠0｝．（2）（－∞，4）．（3）（0，1）．2.比较下列各组数的大小．（1）log23与log23.5．（2）loga5.1与loga5.9，（a＞0且a≠1）．（3）log67与log76．解：（1）考查对数函数y＝log2x．∵2＞1，∴它在（0，＋∞）上是增函数．又3＜3.5，∴log23＜log23.5．（2）当a＞1时，loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9．（3）log67＞1＞log76．总结：本例是利用对数的单调性比较两个对数的大小，当底数与1的大小不确定时，要分类讨论；当不能直接进行比较时，可在两个数中间插入一个已知数间接比较两个数的大小．3.溶液的酸碱度是通过pH值来刻画的，pH值的计算公式为pH＝－lg［H+］，其中［H+］表示溶液中氢离子的浓度，单位是mol／L．（1）根据对数函数性质及上述pH值的计算公式，说明溶液的酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系．（2）已知纯净水中氢离子的浓度为［H+］＝10-7mol／L，计算纯净水的pH值．

　　解：（1）根据对数的性质，有pH＝－lg［H+］＝lg［H+］－1＝lg

　　，

　　所以溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越小．（2）当［H+］＝10-7时，pH＝－lg10-7＝7，所以，纯净水的pH值是7．4.设函数f（x）＝lg（ax－bx），（a＞1＞b＞0），问：当a，b满足什么关系时，f（x）在（1，＋∞）上恒取正值？解：当x∈（1，＋∞）时，lg（ax－bx）＞0恒成立ax－bx＞1恒成立．令g（x）＝ax－bx．∵a＞1＞b＞0，∴g（x）在（0，＋∞）上是增函数，∴当x＞1时，g（x）＞g（1）＝a－b，∴当a－b≥1时，f（x）在（1，＋∞）上恒取正值．

　　［练习］1.求函数y＝

　　的定义域．2.比较log0.50.2与log0.50.3的大小．

　　3.函数y＝lg（x2－2x）的增区间是____________．4.已知a＞0，且a≠1，则在同一直角

　　坐标系中，函数y＝a-x和y＝loga（－x）的图像有可能是（）．

　　5.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现，一岁鲑

　　鱼的游速可以表示为函数

　　，单位是m／s，其中Q表示鲑鱼的耗氧量．

　　（1）当一条鲑鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是多少？

　　（2）计算一条鲑鱼的最低耗氧量．

　　四、拓展延伸1.作出对数函数y＝logax，（a＞1）与y＝logax，（0＜a＜1）的草图．

　　2.说出指数函数与对数函数的关系．以指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x为代表加以说

　　明．（1）对数函数y＝log2x是把指数函数y＝2x中自变量与因变量对调位置而得出的．

　　教师明晰：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，

　　而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量．我们称这两个函数互为函数．函数y＝f（x）

　　的反函数记作：y＝f-1（x）．对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x互为反函数．（2）对数函

　　数y＝log2x与指数函数y＝2x的图像关于直线y＝x对称．

　　（3）指数函数与对数函数对照表．表12-2

　　点评这篇案例首先通过细胞分裂问题说明了对数函数的意义，这样安排既有利于学生理解对数函数的概念，又有利于学生了解了它与指数函数的关系．其次通过画具体的对数函数的图像，归纳总结出对数函数的性质，体现了由特殊到一般的认识规律，知识传授较为自然．性质的列举模仿了指数函数的性质．通过对比，便于学生理解、记忆．例题、练习的选

　　配注意了题目的代表性，并且由易到难，注重学生解题能力的提高．拓展延伸侧重于指数函数与对数函数的图像、性质方面的关系，加深了学生对这两个函数的理解，并使学生从中了解了反函数的概念．13幂函数教材分析幂函数是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，全面掌握有理指数幂和根式的基础上来研究的一种特殊函数，是对函数概念及性质的应用．从教材的整体安排看，学习了解幂函数是为了让学生进一步获得比较系统的函数知识和研究函数的方法，为今后学习三角函数等其他函数打下良好的基础．在初中曾经研究过y＝x，y＝x2，y＝x－1三种幂函数，这节内容，是对初中有关内容的进一步的概括、归纳与发展，是与幂有关知识的高度升华．知识的安排环环紧扣，非常紧凑，充分体现了知识的发生、发展过程．对幂函数进行系统的理论研究，在研究过程中得出相应的结论固然重要，但更为重要的是，要让学生了解系统研究一类函数的方法．这节课要特别让学生去体会研究的方法，以便能将该方法迁移到对其他函数的研究．教学目标1.通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图像和性质的归纳与概括，让学生体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力．2.使学生理解并掌握幂函数的图像与性质，并能初步运用所学知识解决有关问题，培养学生的灵活思维能力．任务分析学生对抽象的幂函数及其图像缺乏感性认识，不能够在理解的基础上来运用幂函数的性质．为此，在教学过程中让学生自己去感受幂函数的图像和性质是这一堂课的突破口．因此，这节课的难点是幂函数图像和性质的发现过程，教学重点是幂函数的性质及运用．首先，从学生已经掌握的最简单的幂函数y＝x，y＝x2和y＝x-1的知识出发，利用实例，由师生共同归纳、总结出幂函数的定义，认清幂函数的特点，深刻理解其定义域．其次，举出几个简单的幂函数引导学生从定义出发研究其定义域、值域、奇偶性、单调性、是否过公共定点这几个性质，让学生自己去探究，把主动权交给学生．然后，再由学生自己结合性质去画幂函数的图像，让学生在获得一定的感性认识的基础上，通过归纳、比较上升为理性认识，从而形成对概念与性质的完整认识．最后通过例题3与练习，让学生利用图像与性质，比较两个数的大小，从而提高学生获取知识的能力．教学设计一、问题情景下列问题中的函数各有什么共同特征？（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付p＝w元．这里p是w的函数．（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积为S＝a2．这里S是a的函数．（3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积为V＝a3．这里V是a的函数．

　　（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长为a＝．这里a是S的函

　　数．（5）如果某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为v＝t-1（km／s）．这里v是t的函数．

　　由学生讨论，总结，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝，v＝t-1都是自变量的若干次幂的形

　　式．教师指出：我们把这样的都是自变量的若干次幂的形式的函数称为幂函数．二、建立模型定义：一般地，函数y＝xa叫作幂函数，其中x是自变量，a是实常数．教师指出：由于无理指数幂的意义我们还没学到，因此目前只讨论a是有理数的情况．思考讨论：在幂函数y＝xn中，当n＝0时，其表达式怎样？定义域、值域、图像如何？教

　　师指出：此时y＝x0＝1；定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），特别强调，当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图像是从点（0，1）出发，平行于x轴的两条射线，但点（0，1）要除外．三、解释应用［例题一］1.求下列函数的定义域．

　　解：（1）R．（2）R．（3）｛x｜x≥0｝．（4）｛x｜x∈R且x≠0）．（5）｛x｜x＞0｝．2.求下列函数的定义域，并判断函数的奇偶性．

　　解：（1）｛x｜x∈R且x≠0）｝，偶函数．（2）R，非奇非偶函数．（3）R，奇函数．（4）｛x｜x＞0｝，非奇非偶函数．［问题探究］1.对于幂函数y＝xa，讨论当a＝1，2，3，，－1时的函数性质．表13-1

　　以上问题给学生留出充分时间去探究，教师引导学生从函数解析式出发来研究函数性质．2.在同一坐标系中，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图像，并归纳出它们具有的共同性质．教师讲评：幂函数的性质．（1）所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图像都过点（1，1）．（2）如果a＞0，则幂函数的图像通过原点，并在区间［0，＋∞）上是增函数．（3）如果a＜0，则幂函数在（0，＋∞）上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地趋近y轴；当ｘ趋向于＋∞时，图像在x轴上方无限地趋近ｘ轴．思考讨论：（1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，这一类函数有哪种重要性质？（2）在幂函数y＝xa中，当a是正奇数时，这一类函数有哪种重要性质？教师讲评：（1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限内是增函数．（2）在幂函数y＝xa中，当a是正奇数时，函数是奇函数，在第一象限内是增函数．［例题二］比较下列各题中两个值的大小．

　　解：（1）∵幂函数y＝x1.5是增函数，又0.7＞0.6，∴0.71.5＞0.61.5．（2）∵幂函数y＝是减函数，又2.2＞1.8，∴注意：由于学生对幂函数还不是很熟悉，所以在讲评中要刻意体现出幂函数y＝x1.5与y＝

　　的图像的画法，即再一次让学生体会根据解析式来画图像解题这一基本思路．

　　［练习］比较下列各题中两个值的大小．

　　四、拓展延伸1.如果把函数图像向上凸的函数称为凸函数，把函数图像向下凸的函数称为凹函数，对于幂函数y＝xa，x∈［0，＋∞），当a＞0且a≠1时，研究其凸凹性．2.研究幂指数与幂函数奇偶性的关系．3.研究幂指数与幂函数单调性的关系．（以上问题的探究可以借助计算机来完成）点评这篇案例的突出特点是，紧紧围绕教学目标，遵循直观式、启发式原则而展开．在这节课中，教师放手让学生去探索与研究，并在一旁适时地引导学生根据几个实例函数的公共特点归纳、总结幂函数的定义，对几个特殊幂函数的性质先进行初步探索，再根据研究的结果结合描点作图画出幂函数的图像，让学生观察和分析所作的图像，归纳得出图像特征，并由图像特征得到相应的函数性质，让学生充分体会系统研究函数的方法．整个教学过程的绝大部分时间都给了学生，让学生动脑动手．通过对同类旧知识的回忆，充分引导学生利用数形结合，找出与新知识的连接点，并在对照、类比分析中找出规律．这些均提高了学生学习的积极性和自学能力，培养了他们的科学精神和创新思维习惯．最后“拓展延伸”的设计又把学生的思维推向了更广阔的空间．14平面的基本性质教材分析这篇案例是在初中平面几何知识的基础上进一步研究平面的基本性质．平面的基本性质是研究立体几何的基本理论基础，这节课既是立体几何的开头课，又是基础课，学生对本节内容理解和掌握得如何，是能否学好立体几何的关键之一．这节课的教学重点是平面的基本性质，难点是平面的基本性质的应用及建立空间概念、正确应用符号语言．教学目标1.在引导学生观察思考生活中的实例、实物模型等的基础上，总结和归纳出平面的基本性质，初步学会用数学的眼光去认识和感受现实的三维空间．2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三个公理，能用公理及推论解决有关问题，提高学生的逻辑推理能力．3.通过画图和识图，逐步培养学生的空间想象能力，使学生在已有的平面图形知识的基础上，建立空间观念．任务分析这节课是立体几何学习的基础，但学生空间立体感还不强．为此，教学时要充分联系生活中的实例，如自行车有一个脚撑等，通过实例，使学生尽快形成对空间的正确认识，建立初步的空间观念；在联系实际提出问题和引入概念时，要合理运用教具，如讲解公理1时，可让学生利用手中的直尺去测桌面是不是平的；讲解公理2时可让学生观察教室的墙面的关系等．通过这些方式加强由模型到图形，再由图形返回模型的基本训练，逐步培养学生由图形想象出空间位置关系的能力．当用文字和符号描述对象时，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，即在图形的基础上发展其他数学语言．在阐述定义、定理、公式等重要内容时，宜先结合图形，再用文字和符号进行描述，综合运用几种数学语言，使其优势互补，这样，就有可能收到较好的效果，给学生留下较为深刻的印象．教学设计一、问题情景1.利用你手中的直尺，如何判定你课桌的桌面是不是平的．2.你骑的自行车有一个脚撑就可站稳，为什么？3.矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，硬纸板与讲台面不重合，能否说这两个平面只有一

　　个公共点？（利用多媒体屏幕呈现问题情景，即在屏幕上出现桌子与直尺、有一个脚撑的自行车、矩形硬纸与讲台面及相应的问题．与现实生活联系紧密的实物通过多媒体给出，能够活跃课堂气氛，激发学生学习兴趣，从而引导学生积极主动的去探究问题）二、建立模型1.探究公理（1）问题1的探究教师提出问题，引发学生思考：如何用直尺这个工具来判定你的桌面是不是平的呢？（把直尺放在物体表面的各个方向上，如果直尺的边缘与物体的表面不出现缝隙，就可判断物体表面是平的）教师点拔：这是判断物体表面是不是平的的一个常用方法．如果物体表面是平的，把直尺边缘无论如何放在平面上，则边缘与平面都没有缝隙，也就是说，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．由此，可以归纳出公理1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（如图14-1）．

　　这时我们说，直线在平面内或平面经过直线．这一性质是平面的主要特征．弯曲的面就不是处处具有这种性质．教师进一步分析：为了书写的简便，我们把代数中刚学习过的有关集合的符号，引入立体几何中．把点作为基本元素，直线、平面即为“点的集合”，这样：

　　点A在直线a上，记作A∈a；点A在直线a外，记作Aa；

　　点A在平面α内，记作A∈α；点A在平面α外，记作Aα；

　　直线a在平面α内，记作aα；直线a在平面α外，记作aα．

　　公理1用集合符号表示为：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则有ａα．例：证明如果一个三角形的两边在一个平面内，那么第三边也在这个平面内．注意：在分析过程中，一定要强调“要证明直线在平面内，则应该证明什么？条件中有没有，没有如何去创造”．通过这种逆推思路的分析，培养学生良好的思考习惯．练习：判断下列命题的真假①如果一条直线不在平面内，则这条直线与平面没有公共点．②过一条直线的平面有无数多个．③与一个平面没有公共点的直线不存在．④如果线段AB在平面α内，则直线AB也在平面内a．（2）问题2的探究教师提出问题，引发学生思考：自行车有一个脚撑就可站稳，为什么？（因为前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点在一个平面上，而且为了站稳，前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点不共线，因此我们可以推测：过不共线的三点有且只有一个平面）

　　教师演示：用相交于一点的三根小棍的三个端点作为空间不在一直线上的三个点（如图14-2），当把作为平面的硬纸板放在上面时，这张作为平面的硬纸板不能再“动”了，因为一动就要离开其中的一个点，硬纸板所在平面就不能确定了，正如同刚才的发现：过不共线的三点有且只有一个平面．公理2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．（如图14-3）

　　公理2也可以简单地说成：不共线的三点确定一个平面．

　　教师演示课件：在空间给定不共线的三点A，B，C（如图14-4），作直线AB，BC，CA，再在直线BC，CA，AB上分别取动点P，Q，R，作直线AP，BQ，CR，让P，Q，R分别在直线BC，CA，AB上运动，我们可以看到这些直线“编织”成一个平面．教师出示问题：试举出一个应用公理2的实例．（例如，一扇门用两个合页和一把锁就可以固定了）（3）问题3的探究教师将矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，让学生观察，并同时提出问题：能否说这两个平面只有一个公共点？（不能，因为平面是无限延展的，所以这两个平面应该有一条经过这公共点的直线）教师点拔：我们只能用有限的模型或图形来表示无限延展的平面，所以我们有时要看模型或图形，但又不能受模型或图形的限制来影响我们对平面的无限延展的了解．这个实例说明了平面具有如下性质．公理3如果两个不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．（如图14-5）

　　公理3的数学符号语言：P∈α，P∈

　　＝a，P∈a．

　　教师进一步概括：为了简便，以后说到两个平面，如不特别说明，都是指两个不重合的平面．如

　　果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交．这条公共直线叫作这两个平面的交线．由

　　公理３可见，两个平面如果有一个公共点，那么就有无穷多个公共点，所有公共点在公共直

　　线上，即它们的交线上；交线上的每一个点都是两平面的公共点．

　　练习：判断下列命题的真假．①如果两个平面有两个公共点A，B，那么它们就有无数个公

　　共点，并且这些公共点都在直线AB上．②两个平面的公共点的集合可能是一条线段．

　　2.推出结论教师明晰：由于两点确定一条直线，根据公理2容易得出如下推论：

　　推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．

　　已知：点A，直线a，Aa．（如图14-6）求证：过点A和直线a可以确定一个平面．分析：“确定一个平面”包含两层意思：一是存在，二是唯一．这两层都应证明．（说明：这个证明可以由教师引导学生一起分析完成，但步骤教师一定要板书）证明：存在性．

　　因为Aa，在a上任取两点B，C，所以过不共线的三点A，B，C有一个平面α．（公理2）因为B∈α，C∈α，所以a∈α．（公理1）故经过点A和直线a有一个平面α．唯一性．如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β，那么Ａ∈β，ａβ，因为B∈ａ，C∈ａ，所以B∈β，B∈β．（公理1）故不共线的三点A，B，C既在平面α内又在平面β内．所以平面α和平面β重合．（公理2）所以经过点A和直线ａ有且只有一个平面．有时“有且只有一个平面”，我们也说“确定一个平面”．类似地可以得出下面两个推论：

　　推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．（如图14-7）推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．（如图14-8）三、解释应用［例题］

　　两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．（如图14-9）

　　已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．求证：直线AB，BC，AC共面．证法1：因为AB∩AC＝A，所以直线AB，AC确定一个平面α．（推论2）因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BCα．（公理1）因此，直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面．

　　证法2：因为A直线BC，所以过点A和直线BC确定平面α．（推论1）

　　因为A∈α，B∈BC，所以B∈α．故ABα，同理ACα，所以AB，AC，BC共面．证法3：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α．（公理2）因为A∈α，B∈α，所以ABα．（公理1）同理BCα，ACα，所以AB，BC，CA三直线共面．思考：在这道题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？（不能，如果三条直线两两相交且过同一点，则这三条直线可以不共面）［练习］1.三角形、梯形是平面图形吗？2.已知：平面α外有一个△ABC，并且△ABC三条边所在的直线分别与平面α交于三个点P，Q，R．求证P，Q，R三点共线．四、拓展延伸1.四条直线两两相交且不过同一点，这四条直线是否一定共面？2.两个平面最多可以把空间分成几个部分？三个平面呢？四个平面呢？点评这篇案例在教师指导下，从现实生活中选择和确定问题进行研究，以类似科学家探究的方式使学生主动地解决问题，获取知识，应用知识，并在探究过程中充分利用模型、进行数学实验等多种渠道．在问题探究的过程中，学生的空间想象能力、动手能力、解题能力等得到了提高．这篇案例充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生参与到问题的探究中，让学生成为“演员”，变成主角，成为解决问题的决策者，而教师只是充当配角．这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥了学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，让学生在互相讨论的过程中学会自己分析转换问题，解决问题．15异面直线教材分析异面直线是立体几何中十分重要的概念．研究空间点、直线和平面之间的各种位置关系必须从异面直线开始．教材首先通过实例让学生弄懂“共面”、“异面”的区别，正确理解“异面”的含义，进而介绍异面直线所成角及异面直线间的距离，这样处理完全符合学生的认知规律．处理好这节内容，可以比较容易地引导学生实现由平面直观到空间想象的过渡．教学重点是异面直线的概念，求异面直线所成的角和异面直线间的距离是这节的难点．教学目标1.理解异面直线的概念，了解空间中的直线的三种位置关系．2.理解异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义，体会空间问题平面化的基本数学思想方法．3.通过异面直线的学习，使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯，培养学生的空间想象能力．

　　任务分析空间中的两条直线的位置关系，是在平面中两条直线位置关系及平面的基本性质基础上提出来的．学生对此已有一定的感性认识，但是此认识是肤浅的．同时，学生空间想象能力还较薄弱．因此，这节内容课应从简单、直观的图形开始介绍．“直观”是这节内容的宗旨．多给学生思考的时间和空间，以有助于空间想象能力的形成．异面直线所成的角的意义及求法，充分体现了化归的数学思想．要让学生通过基本问题的解决，进一步体会异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义及其基本求法．教学设计一、问题情境（１）1.同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在直线的位置或观察天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线的位置．2.如图15-1，长方体ABCD—A1B1C1D1中，线段A1B所在直线与线段C1C所在直线的位置关系如何？

　　二、建立模型（１）1.首先引导学生观察实例或几何模型，进而发现，空间两直线除平行或相交外，还有一种位置关系：存在两条直线既不平行又不相交，即不能共面的两直线，并在此基础上总结出异面直线的定义．2.在学生讨论归纳异面直线定义的基础上，教师概括：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．强调：（1）所谓异面，即不共面，所以它们既不平行，也不相交．（2）“不共面”，指不在任何一个平面内，关键是“任何”二字．3.先让学生总结空间中两条直线的位置关系，然后教师明晰．（1）共面与异面．共面分为平行和相交．（2）有无公共点．有且仅有一个公共点———相交直线，无公共点____________平行直线和异面直线．4.异面直线的画法．先让学生体会下列图形，并让其指出哪些更为直观．

　　显然，图15-2或图15-3较好．因此，当表示异面直线时，以平面衬托可以显示得更清楚．三、问题情境（2）刻画两条平行直线位置通常用距离，两条相交直线通常用角度，那么，如何刻画两条异面直线的相对位置呢？容易想象要用角和距离，如何定义异面直线的角和距离呢？下面探究一个具体的问题：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，

　　1.我们知道AB与A1B是共面的，它们成的角是45°，那么异面直线AB与D1C所成的角定义为多少度的角比较合理呢？2.回忆我们已学过的“距离”概念，发现“距离”具有“最小性”，现在直线AB和D1C上各取一点，这两点必然存在距离，试问在这所有可能的距离中，是否存在两点，这两点间距离最短？进一步思考：如何定义异面直线AB和D1C间的距离？四、建立模型（2）在学生充分讨论、探究的基础上，抽象概括出异面直线所成的角和异面直线间的距离的概念．1.异面直线a与b所成的角已知两条异面直线a，b．经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角），叫作异面直线a与b所成的角．强调：（1）“空间角”是通过“平面角”来定义的．（2）“空间角”的大小，与空间点O的选取无关，依据是“等角定理”．为简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．（3）异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°．（4）异面直线垂直的意义．今后所说的两直线垂直，可能是相交直线，也可能是异面直线．2.对于问题2，学生讨论，可以发现：线段BC是在异面直线AB和D1C上各任取一点，且两点间的距离为异面直线AB和D1C间的最小值．此时，我们就说BC的长度就是AB和D1C的距离．引导学生观察、分析线段BC与AB，D1C之间的关系，得出公垂线段定义：和两条异面直线都垂直且相交的线段．强调：（1）“垂直”与“相交”同时成立．（2）公垂线段的长度定义为异面直线间的距离．五、解释应用［例题］1.如图，点D是△ABC所在平面外一点，求证直线AB与直线CD是异面直线．

　　注：主要考查异面直线的定义，这里可考虑用反证法证明．要让学生体会用反证法的缘由．2.已知：如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′．

　　（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪些棱所在直线与直线AA′垂直？（4）直线BB′与DC间距离是多少？注：主要是理

　　解、巩固有关异面直线的一些基本概念．解题格式要规范，合理．［练习］1.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？2.垂直于同一条直线的两条直线是否平行？3.与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是怎样的？4.已知：如图，在长方体

　　ABCD—A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2．（1）BC和A′C′所成角是多少度？（2）AA′和BC′所成角是多少度？（3）AA′和BC所成的角和距离是多少？（4）A′B与B′C所成的角是多少？（5）AC′与BD所成的角是多少？四、拓展延伸1.判断异面直线除了定义之外，还有如下依据：过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线．请给以证明．2.设点P是直线l外的一定点，过P与l成30°角的异面直线有____________条．（无数）3.已知异面直线a与b成50°角，P为空间任一点，则过点P且与a，b所成的角都是30°的直线有____________条．（2）若a与b所成的角是60°，65°和70°呢？点评这篇案例设计思路完整，条理清晰．案例首先通过直观的图形引出定义，这样有利于学生的接受．然后探索了异面直线所成角与异面直线间距离的概念．探索过程有利于激发了学生的学习热情，体验科学思维方法．列举的例题有针对性，对知识的巩固和形成起到了很好的作用．“拓展延伸”中提出的问题旨在开拓学生解题思路，增强学生空间想象能力．16直线与平面平行教材分析直线与平面平行是在研究了空间直线与直线平行的基础上进行的，它是直线与直线平行的拓广，也是为今后学**面与平面平行作准备．在直线与平面的三种位置关系中，平行关系占有重要地位，是今后学习的必备知识．所以直线与平面平行的判定定理和性质定理是这节的重点，难点是如何解决好直线与直线平行、直线与平面平行相互联系的问题．突破难点的关键是直线与直线平行和直线与平面平行的相互转化．教学目标1.了解空间直线和平面的位置关系，理解和掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，进一步熟悉反证法的实质及其证题步骤．2.通过探究线面平行的定义、判定、性质及其应用，进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力．3.培养学生的逻辑思维和合情推理能力，进而使其养成实事求是的学习态度．任务分析这节的主要任务是直线与平面平行的判定定理、性质定理的发现与归纳，证明与应用．学习时，要引导学生观察实物模型，分析生活中的实例，进而发现、归纳出数学事实，并在此基础上分析和探索定理的论证过程，区分判定定理和性质定理的条件和结论，理解定理的实质和直线与平面平行的判定．在运用性质时，要引导学生完成对“过直线———作平面———得交线———直线与直线平行”这一过程的理解和掌握．教学设计一、问题情境教室内吊在半空的日光灯管、斜靠在墙边的拖把把柄，都可以看作直线的一部分，这些直线与地平面有何位置关系？二、建立模型［问题一］1.空间中的直线与平面有几种位置关系？学生讨论，得出结论：直线与平面平行、直线与平面相交（学生可能说出直线与平面垂直的情况，教师可作解释）及直线在平面内．

　　2.在上述三种位置中，直线与平面的公共点的个数各是多少？学生讨论，得出相关定义：若直线a与平面α没有公共点，则称直线与平面α平行，记作a∥α．若直线a与平面α有且只有一个公共点，则称直线a与平面α相交．当直线a与平面α平行或相交时均称直线a不在平面α内（或称直线a在平面α外）．若直线a与平面α有两个公共点，依据公理1，知直线a上所有点都在平面α内，此时称直线a在平面α内．3.如何对直线与平面的位置关系的进行分类？学生讨论，得出结论：方法1：按直线与平面公共点的个数分：

　　［探索］直线与平面平行、相交的画法．教师用直尺、纸板演示，引导学生说明画法．1.画直线在平面内时，要把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形内部，如图16-1．

　　2.画直线与平面相交时要画出交点，如图16-2．3.画直线与平面平行时，一般要把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形外，并使它与平行四边形的一组对边或平面内的一条直平行，如图16-3．［问题二］1.如何判定直线与平面平行？教师演示：（1）教师先将直尺放在黑板内，然后慢慢平移到平面外．（2）观察教室的门，然后教师转动的门的一条门边给人平行于墙面的感觉．学生讨论，归纳和总结，形成判定定理．定理如果不在平面内的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

　　已知：ａα，ｂ，ａ∥ｂ．求证：ａ∥α．

　　分析：要证明直线与平面平行，根据定义，只要证明直线与平面没有公共点，这时可考虑使用反证法．

　　证明：假设ａ不平行于α，由ａα，得ａ∩α＝A．若A∈ｂ，则与已知ａ∥ｂ矛盾；若A

　　b，则a与b是异面直线，与a∥b矛盾．所以假设不成立，故ａ∥α．

　　总结：此定理有三个条件，（1）ａα，（2）ｂα，（3）ａ∥ｂ．三个条件缺少一个就不

　　能推出ａ∥α这一结论．此定理可归纳为“若线线平行，则线面平行”．2.当直线与平面平行时，直线与平面内的直线有什么位置关系？是否平行？教师演示：教师先让直尺平行于讲桌面，再将纸板经过直尺，慢慢绕直尺旋转使纸板与桌面相交．学生讨论得出：直尺平行于纸板与桌面的交线．师生共同归纳和总结，形成性质定理．定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．已知：l∥a，lβ，α∩β＝ｍ．求证：l∥m．

　　证明：因为l∥α，所以l∩α＝，又因为ｍα，所以l∩ｍ＝，由于l，ｍ都在β内，

　　且没有公共点，所以l∥m．总结：此定理的条件有三个：（1）l∥α，即线面平行．（2）lβ，即过线作面．（3）β∩α＝ｍ，即面面相交．三个条件缺一不可，此定理可简记为“若线面平行，则线与交线平行”．三、解释应用［例题］1.已知：如图16-5，空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点．求证：EF∥平面BCD．

　　证明：连接BD，在△ABD中，因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD．又因为BD是平面ABD与平面BCD的交线，EF∥平面BCD，所以EF∥平面BCD．2.求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内．已知：l∥α，点P∈α，Ｐ∈ｍ，ｍ∥l（如图16-6）．求证；mα．证明：设l与P确定的平面为β，且α∩β＝ｍ′，则ｌ∥ｍ′．又知ｌ∥ｍ，ｍ∩ｍ′＝Ｐ，由平行公理可知，ｍ与ｍ′重合．所以mα．

　　［练习］1.已知：如图16-7，长方体AC′．求证：B′D′∥平面ABCD．

　　2.如图16-8，一个长方体木块ABCD－A1B1C1D1，如果要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开，那么应该怎样画线？四、拓展延伸1.教室内吊在半空中的日光灯管平行于地面，也平行于教室的一墙面，试探讨它和这个墙面与地面的交线之间有什么样的位置关系？2.已知：如图16-9，正方形ABCD和正方形ABEF不在同一平面内，点M，N分别是对角线AC，BF上的点．问：当M，N满足什么条件时，MN∥平面BCE．

　　3.如果三个平面两两相交于三条直线，那么这三条直线有怎样的位置关系．点评这篇案例从学生身边的实例出发，引导学生抽象出直线与平面平行、相交的定义，又通过演示，总结和归纳出直线与平面平行的判定及性质定理，整个过程都把学科理论和学生面临的实际生活结合起来，使学生能较好地理解和把握学科知识．同时，培养了学生的探索创新能力和实践能力，激发了学生的学习兴趣．17平面与平面平行教材分析这节课的主要内容是两个平面平行的判定定理、性质定理及其应用，它是继学生学习了直线与平面的位置关系之后，又一种图形之间的位置关系的研究．判定是由“直线与直线平行”转化为“直线与平面平行”，进而转化为“两平面平行”．两性质则是由“两平面平行”转化为“直线与平面平行”或“直线与直线平行”．由此，突破问题的关键在于抓住“转化”这个中心．这节课的重点是两个平面平行的性质定理和判定定理及两定理的应用，难点是结合问题的特点如何正确而合理地选择方法，准确地使用符号语言进行推理论证．教学目标1.了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，进一步培养学生的空间想象能力和推理能力．2.通过实验、探索、发现、证明、应用这一学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，端正他们学习数学的科学态度，培养他们良好的思维习惯，进一步培养他们的探索精神和创新意识，同时让他们感受到数学体系在内容上的严谨与和谐．任务分析这节内容结论较多，若平铺直叙，则显得零乱而无章法．为了充分调动学生的积极性，发挥学生的主动性，采用设问方式，引导学生自己发现问题，分析推理，归纳结论，从而加速学生的理解和掌握．教学设计一、问题情境通过前面的学习，对直线与平面的位置关系有了一个明确的认识，那么空间中的两个平面的位置关系又有几种可能呢？让学生观察教室的墙面、屋顶和地面，给学生以感性认识，让学生讨论．［平面与平面平行，平面与平面相交（个别学生可能会说平面与平面垂直，教师可作相应的解释）］二、建立模型［问题］

　　1.空间中两个平面的位置关系有几种？通过上面的讨论学生能回答出：平行、相交．2.两种位置关系中，其公共点的个数各是多少个？学生讨论，教师总结，得出：若两平面α，β无公共点，则称两平面α、β平行，记作α∥β．若两个平面有公共点，依据公理3，这些公共点组成了两个平面的公共直线，这时称两个平面相交．3.怎么画两个平行平面？学生分析讨论，教师总结，得出：画两平行平面时应使两个表示平面的平行四边形的对应边平行，并尽量使两平行四边形不重叠．如图17-1．

　　4.如何判断两平面平行？教师演示，学生讨论：将两个相交的直尺慢慢从讲桌上往上平移，让学生分析平移后的相交直线确定的平面与讲桌面的位置关系．如图17-2，在平面α内，作两条相交直线a，b，并且ａ∩ｂ＝P，平移这两条相交直线ａ，ｂ到直线ａ′，ｂ′的位置，设ａ′∩ｂ′＝P′，由直线与平面平行的判定定理可知ａ′∥α，ｂ′∥α．由相交直线ａ′，ｂ′确定的平面β与平面α不会有公共点．否则，如图17-2，如果两平面相交，交线是ｃ，这时，过点P′有两条直线平行于交线ｃ，根据平行公理，这是不可能的．由此，我们得出两平面平行的判定定理．定理如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．思考：（1）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行吗？（2）如果一个平面内的两条平行直线，分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行吗？对于判定，我们可简记为：“线面平行，则面面平行”．5.观察教室的天花板面和地面，知道它们是平行的平面，并且这两个平行平面与墙面相交，试分析这两条交线有什么样的位置关系．学生会答出“平行”．于是有：定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．事实上，由于两条交线分别在两个平行平面内，所以它们不相交，它们又都同在一个平面内，由平行线的定义可知，它们是平行的．如图17-3．

　　思考：（1）如果两个平面平行，那么一个平面内的直线是否必平行于另一个平面？（2）分别位于两平行平面内的两条直线是否必平行？

　　三、解释应用［例题］1.已知：三棱锥P—ABC，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点（如图17-4）．

　　求证：平面DEF∥平面ABC．证明：在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB．又知DE∥平面ABC，因此DE∥平面ABC．同理EF∥平面ABC．又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC．2.已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C

　　和点D，E，F（如图17-5）．求证：

　　证明：连接DC，设DC与平面β相交于点G，则平面ACD与平面α，β分别相交于直线AD，BG．平面DCF与平面β，γ分别相交于直线GE，CF．因为α∥β，β∥γ，所以BG∥AD，GE∥CF．于是，得

　　由此例可得如下结论：两直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．3.已知：如图17-6，平面α∥平面β，AB与CD是两条异面直线，ABα，CDF，G分别为AC，CB，BD的中点，求证平面EFG∥α∥β

　　β．若E，

　　证明：因为EF∥AB，AB∥α，EFα，所以EF∥α．又FG∥CD，设FG与CD确定的平面为γ，且γ∩α＝BM，因为α∥β，γ∩β＝CD，故BM∥

　　CD，所以FG∥BM，BM

　　，FGα，所以FG∥BM，所以FG∥α．

　　又由EF∩GF＝F，故平面EFG∥а，同理平面EFG∥β．［练习］1.如图17-7，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F．已知AC＝15cm，DE＝5cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的长．2.如图17-8，空间四边形ABCD，E在AB上．（1）过E作平行于对角线AC，BD的截面，并判定它的形状．（2）设BD＝a，AC＝b，AC，BD所成的角为Q，且AE∶EB＝k，求（1）中截面的面积．（3）当Q为定值时，求（1）中所能画出的最大的截面面积．四、拓展延伸1.设a，b是两条异面直线，A为不在a，b上的空间一点，问过点A能否作一平面与直线a，b都平行．2.怎样使用水平仪来检测桌面是不是平的？点评这个案例把问题作为教学的出发点，通过教师的课堂演示及提问，引导学生探索，分析，类比，化归；通过学生的讨论，发言，让学生主动发现规律．整个教学过程抓住了“类比和转化”这一数学方法的运用．这个案例设计完整，思路清晰．一开始便在上节的基础上引入了两平面平行的背景，然后总结归纳出两平面平行的定义．又在演示实验的基础上得出两平面平行的判定定理及性质定理．整个过程充分体现了由特殊到一般、再由一般到特殊的辩证思维过程，给学生创造了较大的思

　　维空间和探索求知的机会，同时关注了学生的情感、态度和价值观的培养．18直线与平面垂直教材分析直线与平面垂直是在研究了直线与直线垂直、直线与平面平行、平面与平面平行的基础上进行的．它是直线与直线垂直的延伸，是学习平面与平面垂直以及有关距离、空间角、多面体、旋转体的基础．这节内容的学习可完善知识结构，并对进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力，起着十分重要的作用．直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理是这节课的重点．学习直线与平面垂直的性质定理时，应该注意引导学生把直线和直线的关系问题有目的地转化为直线与平面的关系问题，这是这节课的难点．教学目标1.掌握直线与直线垂直，直线与平面垂直的定义，以及直线与平面垂直的判定与性质．2.通过探索线面垂直的定义、判定定理和性质定理及其证明，进一步培养学生观察问题、发现问题的能力和空间想象、计算能力，并且加强对思维能力的训练．3.激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，渗透事物间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过图形的立体美，对称美，培养教学审美意识．任务分析因为判定定理的证明有一定的难度，所以教材作为探索与研究来处理．又因为定理的论证层次多，构图复杂，辅助线多，运用平面几何的知识多，所以这节课的难点是判定定理的证明．突破难点的方法是充分运用实物模型演示，以具体形象思维支持逻辑思维．教学设计一、问题情境上海的标志性建筑———东方明珠电视塔的中轴线垂直于地面，在这一点上，它与比萨斜塔完全不同．那么，直线与平面垂直如何定义和判定，又有什么性质呢？这将是本节课要研究的问题．二、建立模型我们先来研究空间中两条直线的垂直问题．在平面内，如果两条直线互相垂直，则它们一定相交．在空间中，两条互相垂直相交的直线中，如果固定其中一条，让另一条平移到空间的某一个位置，就可能与固定的直线没有公共点，这时两条直线不会相交，也不会在同一平面内（为什么），我们同样称它们相互垂直．下面我们给出空间任意两条直线互相垂直的一般定义．如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．有了直线与直线垂直的概念，我们就可以利用直线与直线垂直来定义直线与平面垂直了．［问题］1.什么叫直线与平面垂直？

　　教师演示：如图，直线l是线段AB的中垂线．固定线段AB，让l保持与AB垂直并绕直线AB在空间旋转．教师让学生讨论：（1）直线l的轨迹是怎样的图形？（2）如何定义直线与平面垂直？教师明晰：（1）线段AB所有垂直平分线构成的集合是一个平面．（2）如果一条直线（AB）和一个平面（α）相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫作平面的垂线，这个平面叫作直线的垂面．交点叫作垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫作这点到这个

　　平面的垂线段．垂线段的长度叫作这个点到平面的距离．2.如图18-2，直线l⊥平面α，直线mα，问l与m的关系怎样．学生讨论后，得出结论：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．3.怎么画直线与平面垂直？学生讨论后，教师总结：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图18-2．

　　4.如何判断直线与平面垂直？教师引导：根据定义判定直线与平面垂直是困难的，如何用尽可能少的线线垂直来判定线面垂直呢？学生讨论后，教师总结．（1）因为两条相交直线确定一平面，所以只要直线和平面内的两条相交直线垂直，就可以判定直线和平面垂直．（2）两条平行直线也确定一平面，直线和这两条平行直线垂直，不能判定直线就和平面垂直（教师作演示说明）．于是，归纳出直线和平面垂直的判定定理．定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．如图18-3，如果直线l∥m，l⊥平面α，则l垂直于平面α内任意两条相交直线，如a，b．根据空间两直线垂直的定义，易知m⊥a，m⊥b，所以m⊥α．让学生总结：判定直线与平面垂直的方法．

　　（1）定义．（2）判定定理．（3）推论．4.在平面几何中，同垂直于一条直线的两条直线平行，那么，在空间几何中，又有什么类似的结论呢？学生讨论后，得出结论：同垂直于一个平面的两条直线平行．于是有直线和平面垂直的性质．定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．已知：如图18-4，直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，垂足分别为A，B．

　　求证：l∥m．证明：假设直线ｍ不与直线l平行．过直线m与平面α的交点B，作直线m′∥l，由直线与平面垂直的判定定理的推论可知，m′⊥α．设ｍ和m′确定的平面为β，α与β的交线为ａ，因为直线m和m′都垂直于平面α，所以直线m和m′都垂直于交线ａ．因为在同一平面内，通过直线上一点并与已知直线垂直的直线有且仅有一条，所以直线m和m′必重合，即l∥m．三、解释应用［例题］1.过一点和已知平面垂直的直线只有一条．已知：平面α和一点P（如图18-5）．求证：过点P与α垂直的直线只有一条．

　　证明：不论点P在α外或内，设PA⊥α，垂足为A（或P）．如果过点P，除直线PA⊥α外，还有一条直线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝ａ，于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于交线ａ，这是不可能的．所以过点P与α垂直的直线只有一条．2.如图18-6，有一根旗杆AB高8m，它的顶端Ａ挂着两条长10m的绳子．拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点C，D（和旗杆脚不在同一条直线上）．如果这两点都和旗杆脚B

　　的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？

　　解：在△ABC和△ABD中，因为AB＝8m，BC＝BD＝6m，AC＝AD＝10m，所以AB2＋BC2＝82＋62＝102＝AC2，AB2＋BD2＝62＋82＝102＝AD2．所以∠ABC＝∠ABD＝90°，即AB⊥BC，AB⊥BD．又知B，C，D三点不共线，所以AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直．3.已知：直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l（如图18-7）．求证：AP在α内．证明：设AP与l确定的平面为β．如果AP不在α内，则可设α与β相交于直线AM，因为l⊥α，AMα，所以l⊥AM．又已知AP⊥l，于是在平面β内，过点Ａ有两条直线垂直于l．这是不可能的，所以AP一定在α内．［练习］1.已知：如图18-8，在平面α内有ABCD，O是它对角线的交点，点P在α外，且PA＝PC，PB＝PD．求证：PO⊥α．2.已知：空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，求证：BC⊥AD．3.已知两个平行平面中，有一个平面与一条已知直线垂直，问：另一平面与已知直线的位置关系怎样？四、拓展延伸1.如图18-9所示，在空间，如果直线ｍ，ｎ都是线段AA′的垂直平分线，设ｍ，ｎ确定的平面为α，证明：（1）在平面α内，通过线段AA′中点B的所有直线都是线段AA′的垂直平分线．（2）线段AA′的任一条垂直平分线都在α内．2.如图18-10（1），如果平面α通过线段AA′的中点O，且垂直于直线AA′，那么平面α叫作线段AA′的垂直平分面（或中垂面），并称点A，A′关于平面α成镜面对称，平面α叫作A，A′的对称平面．

　　如图18-10（2），如果一个图形Ｆ内的所有点关于平面α的对称点构成几何图形F′，则称F，F′关于平面α成镜面对称．F到F′的图形变换称为镜面对称变换．如果一个图形Ｆ通过镜面对称变换后的图形仍是它自身，则这个图形被称为镜面对称图形．根据以上定义，探索与研究以下问题：

　　（1）线段的中垂面有哪些性质？（2）你学过的空间图形，有哪些是镜面对称图形？（3）写一篇研究镜面对称的小论文，探索镜面对称的性质和应用．点评这篇案例设计完整，构思严谨，突出的特点是把学科灰色的理论和鲜活的实际生活相结合，使学生能较好地理解和把握学科知识．同时，这篇案例注意了美育、科学精神和人文精神的渗透，能较好地培养学生的探索创新能力和实践能力，符合新课改精神．19平面与平面垂直教材分析两个平面垂直的判定定理及性质定理是平面与平面位置关系的重要内容．通过这节的学习可以发现：直线与直线垂直、直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定和性质定理形成了一套完整的证明体系，而且可以实现利用低维位置关系推导高维位置关系，利用高维位置关系也能推导低维位置关系，充分体现了转化思想在立体几何中的重要地位．这节课的重点是判定定理及性质定理，难点是定理的发现及证明．教学目标1.掌握两平面垂直的有关概念，以及两个平面垂直的判定定理和性质定理，能运用概念和定理进行有关计算与证明．2.培养学生的空间想象能力，逻辑思维能力，知识迁移能力，运用数学知识和数学方法观察、研究现实现象的能力，整理知识、解决问题的能力．3.通过对实际问题的分析和探究，激发学生的学习兴趣，培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神．任务分析判定定理证明的难点是画辅助线．为了突破这一难点，可引导学生这样分析：在没有得到判定定理时，只有根据两平面互相垂直的定义来证明，那么，哪个平面与这两个平面都垂直呢？对性质定理的引入，不是采取平铺直叙，而是根据数学定理的教学是由发现与论证这两个过程组成的，所以应把“引出命题”和“猜想”作为本部分的重要活动内容．教学设计一、问题情境1.建筑工人在砌墙时，常用一根铅垂的线吊在墙角上，这是为什么？（为了使墙面与地面垂直）2.什么叫两个平面垂直？怎样判定两平面垂直，两平面垂直有哪些性质？二、建立模型如图19-1，两个平面α，β相交，交线为CD，在CD上任取一点B，过点B分别在α，β内作直线BA和BE，使BA⊥CD，BE⊥CD．于是，直线CD⊥平面ABE．

　　容易看到，∠ABE为直角时，给我们两平面垂直的印象，于是有定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，并且这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α，β互相垂直，记作α⊥β．［问题］1.建筑工人在砌墙时，铅垂线在墙面内，墙面与地面就垂直吗？如图19-1，只要α经过β的垂线BA，则BA⊥β，∴BA⊥BE，∠ABE＝Rt∠．依定义，知α⊥β．于是，有判定定理：定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．

　　2.如果交换判定定理中的条件“BA⊥β”和结论“α⊥β”．即平面与平面垂直出发，能否推出直线与平面垂直？

　　，也就是从

　　平面α内满足什么条件的直线才能垂直于平面β呢？让学生用教科书、桌面、笔摆模型．通过模型发现：当α⊥β时，只有在一个平面（如α）内，垂直于两平面交线的直线（如BA）才会垂直于另一个平面（如β）．于是，有定理：定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．（先分析命题的条件和结论，然后画出图形，再结合图形，写出已知，求证）已知：如图，α⊥β，α∩β＝CD，ABα，AB⊥CD，求证：AB⊥β．

　　分析：要证AB⊥β，只需在β内再找一条直线与ＡＢ垂直，但β内没有这样的直线，如何作出这条直线呢？因为α⊥β，所以可根据二面角的定义作出这个二面角的平面角．在平面β内过点B作BE⊥CD．因为AB⊥CD，所以∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，并且∠ABE＝90°，即AB⊥BE．又因为CDβ，BEβ，所以AB⊥β．三、解释应用［例题］1.已知：如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD长．

　　解：连接BC．因为AC⊥AB，所以AC⊥β，AC⊥BD．因为BD⊥AB，所以BD⊥α，BD⊥BC．所以，△CBD是直角三角形．

　　在Rt△BAC中，BC＝

　　＝5（cm），在Rt△CBD中，CD＝

　　＝13（cm）．

　　2.已知：在Rt△ABC中，AB＝AC＝ａ，AD是斜边BC的高，以AD为折痕使∠BDC折成直角（如图19-4）．

　　求证：（1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．（2）∠BAC＝60°．证明：（1）如图19-4（2），因为AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC．因为平面ABD和平面ACD都过AD，所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．（2）如图19-4（1），在Rt△BAC中，因为AB＝AC＝ａ，

　　所以BC＝ａ，BD＝DC＝．

　　如图19-4（2），△BDC是等腰直角三角形，所以BC＝BD＝2×＝ａ．得AB＝AC＝BC．所以∠BAC＝60°．［练习］1.如图19-5，有一个正三棱锥体的零件，P是侧面ACD上一点．问：如何在面ACD上过点P画一条与棱AB垂直的线段？试说明理由．

　　2.已知：如图19-6，在空间四边形ABCD中，AC＝AD，BC＝BD，E是CD的中点．求证：（1）平面ABE⊥平面BCD．（2）平面ABE⊥平面ACD．四、拓展延伸能否将平面几何中的勾股定理推广到立体几何学中去？试写一篇研究性的小论文．点评这篇案例结构完整，构思新颖．案例开始以一个生活中常见的例子引入问题，得到了两平面垂直的定义．还是这个例子，改变了问法又得到了两平面垂直的判定定理．即把学科理论和学生的生活实际相结合，激起了学生探索问题的热情．对性质定理和判定定理的引入和证明也不是平铺直叙，而是充分展现了定理的发现和形成过程．通过学生的认真参与，师生之间的民主交流，培养了学生的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神．

　　20柱、锥、台体的体积教材分析这节内容是在学完多面体与旋转体的概念、性质、画法、侧面积、表面积以后，在体积概念与体积公理的基础上，研究柱、锥、台体的体积．其中柱体体积是基础，并且由柱体体积可推导出锥体体积，而根据锥体体积又可得出台体体积．柱、锥、台体的体积是立体几何的重要内容，是历年高考的重点．通过这节知识的学习，既要使学生知道三种几何体体积的公式，又要让学生知道这些公式是怎么得出的．三种几何体的体积公式的推导是教学的重中之重．教学目标1.使学生掌握柱、锥、台体的体积公式及其初步应用．2.通过对三种几何体体积公式的探索，使学生学会观察、类比、归纳、猜想等方法，培养学生分析、抽象、概括及逻辑推理能力．3.通过三种几何体体积公式的探索，培养学生独立思考、刻苦钻研、孜孜以求的毅力及勇于探索、创新的精神．任务分析对于体积这一内容，学生早在小学就有了初步认识，如长方体的体积公式．但如何推导锥、台体体积是目前的重要任务．三种几何体的体积公式的推导有着密切的联系，教学时要不断强化三者之间的关系，强化借助用已知来研究未知这种探索问题的一般性的研究方法．柱、锥体体积公式推导的理论基础是祖原理．为此，必须将祖原理要求的三个条件务必要落实到位，只有这样，棱柱、圆柱与长方体之间的体积转化以及一般棱锥与三棱锥之间的体积转化才能水到渠成．三棱锥体积公式的推导是本节的重点，也是难点．要充分利用多媒体，通过课件演示，生动形象地表现三棱锥与三棱柱体积之间的关系，让学生充分体会割补变换这一数学思想．最后，利用台体的定义，并紧扣台体与锥体的关系，求出台体体积．教学设计一、问题情景在多媒体屏幕上播出阿基米德利用水来辨别金王冠纯度高低的故事．通过这个故事教师指出，在古代，人们就对体积的求法进行了探索．接着指出我国古代在公元5世纪对体积曾进行过比较深入的研究，引出祖原理．二、建立模型（一）祖原理在屏幕上显示祖原理．教师强调这个原理在欧洲直到17世纪才被意大利的卡瓦列里提出，

　　比祖之晚1100年以上，目的在于激发学生的爱国热情．1.学生讨论教师启发能否根据原理的思想，利用手中的课本等道具把这个原理解释一下．2.练习设有底面积与高都相等的长方体和六棱柱，思考这两个几何体的体积有何关系．说明：由于祖原理条件比较复杂，学生不易弄清，教师要把已知条件分析清：（1）这两个几何体夹在两个平行平面之间．（2）用平行于两个平行平面的任一平面去截两几何体可得两个截面．（3）两个截面的面积相等．只有这三个条件都具备，才能得出两个几何体的体积相等．（二）柱体体积公式的推导［问题］设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱，一个圆柱，如何求这两个几何体的体积？为了把这个问题让学生水到渠成地想出来，可以提出以下几个阶梯性的问题．（1）柱体体积公式目前不知道，那么同学们会求什么特殊几何体的体积呢？（2）根据刚才对祖原理的研究发现，如果两个几何体满足祖原理中的三个条件，那么这两个几何体的体积就可以相互转化．柱体的体积公式目前不会求，能否利用祖原理把目标几何体的体积转化为长方体的体积呢？教师进一步引导：构造一长方体，使已知的棱柱、圆柱与构造的长方体满足祖原理的条件．（3）长方体如何出现呢？让学生讨论得出：已知棱柱、圆柱目前已经夹在两平行平面之间，并且底面积相等，所以只要在两平行平面之间放一个与前面两几何体底面积相等、高相等的长方体即可．根据祖原理这三个几何体的体积相等，而长方体体积可以利用底面积乘高求得，故两目标几何体的体积也就得出了．教师在大屏幕上显示推导过程：先把棱柱放在两平行平面之间，然后再让长方体出现，最后动态地显示三个几何体被平行于两个平行平面的任一平面去截两几何体可得三个截面；三个截面的面积相等．教师明晰：柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝Sh．［练习］已知一圆柱的底面半径r，高是h，求圆柱的体积．教师明晰：底面半径为r，高为h的圆柱的体积V圆柱＝Sh＝πr2h．（三）锥体体积公式的推导1.等底面积等高的两个锥体的体积的关系［问题］（1）刚才我们利用祖原理获得了等底面积等高的柱体与长方体（两个柱体）等体积，那么等底面积等高的两个锥体的体积之间有什么关系呢？（2）你们怎么知道它们的体积是相等的？（有的学生会说是估计的）（3）能证实你们估计的结论（猜想）吗？（有了前面连续两次用祖原理证明等底等高的两个柱体体积相等，学生的这个猜想就比较容易再次利用祖原理来证明）师生共同分析：用祖原理．

　　设有任意两个锥体，不妨选取一个三棱锥，一个圆锥，并设它们的底面积都是S，高都是h（如图20-1）．（1）把这两个锥体的底面放在同一个平面α上．由于它们的高相等，故它们的顶点必在与α平行的同一个平面β上，即这两个锥体可夹在两个平行平面α，β之间．（2）用平行于平面α的任意平面去截这两个锥体，设截面面积分别为S1，S2，截面和顶点

　　的距离是h1，体积分别为V1，V2，则由锥体平行于底面的截面性质，知

　　．所

　　以

　　，故S1＝S2．由祖原理，知V1＝V2．

　　（学生叙述，教师板书）结论：如果两个锥体的底面积相等，高也相等，那么它们的体积相

　　等．教师明晰：等底面积等高的两个锥体的体积相等．

　　（由学生提出问题、分析问题并解决问题，这是对学生高层次的要求．当学生达不到这个层

　　次时，可由教师提出问题，学生分析问题和解决问题．教师提出问题后要给学生观察、比较、

　　分析、归纳、猜想、发现的时间．著名数学教育家波利亚曾提出：只要数学的学习过程稍能

　　反映出数学发明的过程，那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置．猜想后还要严格地

　　证明，合情推理与逻辑推理并重，既教证明又教猜想，这才是解决问题的完整过程）

　　2.锥体体积公式的推导教师启发：上述定理只是回答了具有等底面积、等高的两个锥体

　　的体积之间的相等关系，但这个体积如何求出，能否像柱体那样有一个体积公式仍然是一个

　　谜．然而它给了我们一个求锥体体积的有益启示：只须找到一个“简单”的锥体作为代表，如

　　果这个代表的体积求出来了，那么，根据等底面积等高的两个锥体的体积即可获得其他锥体

　　的体积．

　　［问题］（1）用怎样的“简单”锥体作代表来研究呢？（2）如何求这类锥体的体积呢？

　　（此时学生思考受阻，可由教师启发）（3）任何新知识都是在已知旧知识的基础上发展起来

　　的，现在我们已经能求出柱体的体积．那么三棱锥的体积能否借助柱体的体积公式来求呢？

　　教师启发：可以尝试补成三棱柱，然后考虑三棱锥与三棱柱之间体积的关系．

　　此时应该给学生留出充分的时间，让他们在练习本上把如图20-2三棱锥A′—ABC以底面△

　　ABC为底面，AA′为侧棱补成一个三棱柱ABC—A′B′C′．

　　教师利用多媒体把这个三棱柱补出来（在屏幕上动态地补出）．（4）在三棱柱中，除三棱锥A′—ABC外的几何体是不规则的，如能转化成规则的就好了，如何转化呢？教师启发：连接点B′，C，就可把这个不规则的几何体分割成两个三棱锥．教师利用屏幕动态显示分割过程［分割三棱柱ABC—A′B′C′得三棱锥（1），（2），（3）．如图20-3．（5）思考一下分割而得的三个三棱锥之间有何关系？

　　学生讨论得出：体积相等．（6）为什么相等？试简要证明．（引导学生思考两个锥体等体积的依据———前面定理的条件：（1）等底面积．（2）等高）师生共同分析，同时教师板书：在三棱锥（2），（3）中，S△ABA′＝S△B′A′B，又由于它们有相同顶点C，故高也相等，所以V（2）＝V（3）．又在三棱锥（3），（4）中，SBCB′＝S

　　△B′C′C，它们有相同顶点A′，故高也相等，所以V（3）＝V（4），所以V（2）＝V（3）

　　＝V（4）＝V棱柱ABC—A′B′C′＝Sh．（7）一般锥体的体积又如何呢？

　　设一般锥体的底面积为S，高为h．师生共同得出V锥体＝Sh（师板书）．（8）如何对这一结果进行证明？教师引导：构造一个三棱锥，使其底面积为S，高为h，由于等底面积等高的锥体的体积相

　　等，故V锥体＝V三棱锥＝Sh．三、应用与拓展台体体积公式的推导．已知棱台ABCDE—A1B1C1D1E1的上下底面积为S

　　上，S下，高为h，求证V棱台＝（S上＋

　　＋S下）．

　　为了解决台体体积的求法可问学生下列阶梯性问题：

　　（1）台体是如何定义的？

　　（2）台体与被截的棱锥的体积有何关系？

　　（3）要求的台体体积，只要求出棱锥与截后所得小棱锥的体积即可，要求棱锥的体积，有

　　那些条件，还缺什么条件，如何求呢？随着问题的一个个解决，思路也就水到渠成了．

　　（分析完思路后，解题过程在大屏幕上打出）教师明晰：台体体积公式：一般地，棱台的体

　　积公式是V棱台＝h（S上＋

　　＋S下），其中S上，S下和ｈ分别为棱台上底面

　　积、下底面积和高．

　　点评这篇案例重在教师启发下，让学生进行一定量的思维活动．在公式的推导过程中，

　　由于教师的阶梯式提问，不断创设思维情景，使学生积极参与教学活动，从而使学生的思维

　　品质得到了锻炼和提高．在锥体体积公式推导的过程中，教师不断渗透联系和转化等数学思

　　想．在这篇案例中，体现了两次重要的转化，一次是利用祖原理将锥体体积公式的推导转

　　化为三棱锥体积公式的推导，简化了研究系统；一次是利用割补变换建立了三棱锥与三棱柱

　　之间的体积关系．其中，第一次转化是通过逻辑推理实现的，第二次转化是通过图形变换实

　　现的．这篇案例之所以突出公式形成的过程，是为了使学生在参与公式的推导过程中能在数

　　学内容、数学方法和思维教育等方面吸收更多的营养．这篇案例使用了计算机辅助教学，特

　　别是在体现三棱锥与三棱柱两种之间几何体之间的体积关系时使用，使三棱锥与三棱柱之间

　　割补变换显得直观，生动，形象，弥补了在黑板上画图动感差且又浪费时间的不足，也有利

　　于学生对两种几何体之间关系的深刻认识，发挥了计算机的良好辅助作用．美中不足的是，

　　作为反映新理念的教学案例，如果能从学生可以直接操作的有关模型入手，通过多媒体的三

　　维动态演示，使学生从直观思维上升到空间的想象和逻辑推导，教学效果会更好．

　　21空间几何体的三视图

　　教材分析

　　前面我们认识了柱体、锥体、台体、球体以及简单的组合体，如何将这些空间几何体画在纸

　　上，并体现立体感呢？我们常用三视图表示空间几何体．三视图是观察者从不同位置观察同

　　一个几何体，画出的平面图形．视图在现实生活中有着广泛的应用，同时是培养空间观念的

　　基本素材，因此视图知识进入了高中数学课程．由于教材编写比较简明，而多数学生在初中

　　没有学过视图，因此，在设计时，补充了视图的一些初步知识，便于学生的学习．

　　教学重点是能画出一些简单空间几何体的三视图，难点是由三视图识别出所表示的立体模

　　型．

　　教学目的1.了解投影、视图的一些概念，掌握画简单空间几何体的三视图的方法，能画出一些空间几何体的三视图．2.能由三视图识别出其表示的立体模型．3.通过视图的学习，培养学生的空间想象能力和动手操作能力．任务分析画空间几何体的三视图是学习立体几何的基本任务之一，也是学好立体几何的基本功，对空间能力的培养有很大帮助．如何画好空间几何体的视图呢？首先要明确视图的一些概念，掌握正投影的规律：平行，形不变；倾斜，形改变；垂直，成一点（或线段）．掌握三视图的画法规则：长对正，宽平齐，高相等，以及画图中的注意事项．画好视图，还要亲自动手画图，不必画很多，但一定要规范，用心体会方法．同时，要适当进行由三视图所表示的立体模型的识别训练，逐步培养空间观念．这节课大约为2课时．教学过程一、问题情景1.把一个圆柱形的木块，投影到相互垂直的三个墙面上，阴影分别是什么图形？2.一个机器零件，分别从正面、上面、左面观察是下图中的三个平面图形，你能想象出这个机器零件的大致形状吗？

　　本节主要解决类似上面的这些问题．二、建立模型物体在灯光或日光照射下，会在地面或墙壁上产生影子，这是一种自然现象．投影就是由这类自然现象抽象出来的．投影是光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该平面上得到图形的方法．投影线相互平行的投影称为平行投影．平行投影按投射方向是否正对着投影面，分为斜投影和正投影两种．

　　视图是指将物体按正投影面投射所得到的图形，光线自物体的前面向后投射所得的投影称为主视图或正视图，自上而下投射所得的投影称为俯视图，自左向右投射所得的投影称为左视图．用这三种视图刻画空间几何体的结构，称之为三视图．

　　如上图，是圆柱在三个相互垂直的投影面上进行正投影得到的三视图．将几何体拿走后，把投影面H向下旋转90°，投影面Ｗ向后旋转90°，使三个投影面摊平在同一个平面上，如图21-4．

　　三视图的位置是：俯视图在主视图的下面，左视图在主视图的右面，主视图反映出物体的___________，俯视图反映出物体的___________，左视图反映出物体的___________．因此，三视图的画法规则可归纳为长对正，宽平齐，高相等．具体为（1）画辅助线XY，YZ（图画好后可擦去）．（2）确定主视图位置，画出主视图．（3）根据“长对正”与物体的宽度画出俯视图．（4）再根据“高平齐”与“宽相等”画出左视图（宽度：可通过以点O为中心旋转画出）．（5）标注尺寸，擦去不必要的辅助线．注意：为了正确表达空间几何体的内外形状，使图形清楚易识，绘图中使用的轮廓线，应符合统一标准：看得见部分的轮廓用粗实线、看不见部分的轮廓用虚线、尺寸用细实线、对称轴用点画线等．三、解释应用［例题］1.画出下列几何体的三视图．

　　2.根据三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．

　　分析：由俯视图并结合其中两个视图可以看出，这个物体是由一个圆柱和一个正四棱柱组合而成，圆柱的下底面圆和正四棱柱的上底面正方形内切，这样便可确定物体原形．解：根据三视图想象物体原形如下：注意：根据三视图想象原形，要综合视图全面考虑．［练习］1.找出与下列几何体对应的三视图，并在对应的三视图下面的括号中填上对应的数码．

　　2.添线补全下列三视图．

　　3.画出下列几何体的三视图．

　　4.根据三视图想象物体原形，并画出该物体的实物图．

　　5.完成问题情景中的问题2．四、拓展延伸1.一个正三棱柱（底面是正三角形，高等于侧棱长）的三视图如图21-13所示，求这个正三棱柱的表面积．

　　2.某几何体的三视图如图21-14所示，问：该几何体是棱台吗？

　　3.某楼房由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如图21-15所示，问：（1）该楼有几层？从前往后最多要走过几个房间？（2）最高一层的房间在什么位置？试画出该楼的大致形状．

　　4.根据图21-16中一个几何体的三视图，制作一个实物模型．

　　附：过关检测

　　（一）选择题．

　　1.下列给出的空间几何体中，在任意方向上的视图是全等图形的是（）

　　A.正方体

　　B.圆柱

　　C.圆台

　　D.球

　　2.如图所示为一个简单几何体的三视图，则对应的实物是（）

　　（二）填空题．3.在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，分界线和可视轮廓线都用___________画出，不可见轮廓线用___________画出．4.如图，下列三视图表示的几何体是___________．

　　（三）解答题．5.在下面的两个小题中，图②是根据图①中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误处并改正，然后分别画出它们的左视图．

　　点评视图是高中数学课程中新增的内容．各种版本的新教材都是在学生初中学习视图的基础上展开的．这篇案例首先通过设置问题，把学生引向要学习的情景，明确本节要解决的主要问题．视图的画法以实例呈现，便于学生理解掌握．例题与练习的设计，有梯度，全面．最后给出了具有一定难度的问题，有利于培养学生的探索与研究能力，数学思维能力．22直线方程的概念与直线的斜率教材分析这节内容从一个具体的一次函数及其图像入手，引入直线方程和方程的直线的概念．从研究直线方程的需要出发，引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率的概念．然后建立了过两点的直线的斜率公式．直线方程的概念是通过初中学过的一次函数的图像引入的，是将一次函数与其图像的关系转换成直线方程与直线的对应关系．对这种关系的学习，要通过观察图像，研究图像，利用数形结合的思想，归纳和概括出什么是直线的方程和方程的直线，使学生对直线和直线方程的关系有一个初步了解．倾斜角和斜率公式都是反映直线相对于ｘ轴正方向的倾斜程度的，确切地说，倾斜角是直接反映这种倾斜程度的，斜率公式是利用直线上点的坐标来研究直线的倾斜程度的．解析几何是用数来研究形的，在研究直线时，使用斜率公式比使用倾斜角更方便，因此正确理解斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，是学习这节内容的重点，也是学好平面解析几何的关键．教学目标1.通过对本节的学习，了解直线的方程和方程的直线的概念，理解直线的倾斜角和斜率的概念，会准确地表述直线的倾斜角和斜率的意义．2.理解并掌握过两点的直线的斜率公式，并能用其解决有关的数学问题．3.初步培养学生数形结合的思想，提高学生联系、转化、归纳、概括的思维能力，进一步培养学生的创新意识和分析问题、解决问题的能力．任务分析这节内容是在一次函数的基础上，通过研究一次函数和它的图像的关系，而引入的直线和方程的关系．对于直线和方程的关系，学生接受起来可能比较困难，因此在学习时要始终结合具体的直线方程和它的图像来研究，以增强直观性，便于被学生理解．直线的倾斜角和斜率是描述直线倾斜程度的，在学习过程中，一方面要注意有关概念之间的区别，另一方面要突出它们之间的联系，要充分利用图像进行具体分析，让学生注意斜率的变化和倾斜角的关系，特别是当直线的倾斜角为直角时，直线的斜率不存在的情况，进一步强调：有斜率必有倾斜角与之对应；反之，有倾斜角必有斜率与之对应是不够确切的．在这节的学习中，要让学生体会“形”与“数”相互转化的思想，培养学生分析、联想、抽象、概括的能力．教学设计一、问题情境1.在初中，我们学习过一次函数y＝kx＋b，（k≠0），知道它的图像是一条直线l，那么满足y＝kx＋b的有序实数对（x，y）与直线l上的点的坐标有什么关系？能否把它推广到一般的二元一次方程和直线？2.作出函数y＝2x＋1的图像，研究满足y＝2x＋1的有序实数对与y＝2x＋1的图像上点的坐标的关系．二、建立模型1.学生分析讨论，师生共同总结（1）有序实数对（0，1）满足函数y＝2x＋1，在直线l上就有一点A，它的坐标是（0，1）；又如有序实数对（2，5）满足函数y＝2x＋1，在直线l上就有一点B，它的坐标是（2，5）．（2）在直线l上取一点P（1，3），则有序实数对（1，3）就满足函数y＝2x＋1；又如在直线l上取一点Q（－1，－1），则有序实数（－1，－1）就满足函数y＝2x＋1．结论：一般地，满足函数式y＝kx＋b的每一对x，y的值，都是直线l上的点的坐标；反之，直线l上每一点的坐标（x，y）都满足函数式y＝kx＋b，因此，一次函数y＝kx＋b的图像是一条直线，它是以满足y＝kx＋b的每一对x，y的值为坐标的点构成的．

　　2.教师明晰从方程的角度看，函数y＝kx＋b可以看作二元一次方程y－kx－b＝0，这样“满足一次函数y＝kx＋b的每一对（x，y）的值”，就是“二元一次方程y－kx－b＝0的解x，y”；以方程y－kx－b＝0的解为坐标的点就在函数y＝kx＋b的图像上；反过来，函数y＝kx＋b的图像上的任一点的坐标满足方程y－kx－b＝0，这样直线和方程就建立了联系．一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫作这条直线的方程；这条直线叫这个方程的直线．由于方程y＝kx＋b的图像是一条直线，因而我们今后就常说直线y＝kx＋b．练习：已知方程2x＋3y＋6＝0．（1）把这个方程改写成一次函数．

　　（2）画出这个方程对应的直线l．（3）判定点（，1），（－3，0）是否在直线ｌ上．进一步思考如下问题：哪些条件可以确定一条直线？在平面直角坐标系中，过点Ｐ的任何一条直线l，对x轴的相应位置有哪些情形？如何刻画它们的相对位置？3.通过学生讨论，师生共同总结直线相对x轴的情形有四种，如图所示：

　　通过分析四种情形，师生共同得出：直线相对ｘ轴的位置情形，可用直线l和x轴所成的角来描述．我们规定：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫作这条直线的倾斜角，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．问题：（1）在直角坐标系中，画出过点P（－1，2），倾斜角分别为45°，150°，0°，90°的四条直线．（2）直线的倾斜角的取值范围是怎样的？通过讨论师生共同明确：直线的倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．在此范围的直角坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角确定一条直线的方向．倾斜角直观地表示了直线相对x轴正方向的倾斜程度．从上面的讨论可以看出，直线在坐标系中的倾斜程度可以用倾斜角直观地来表示．我们知道，当一条直线上的两个点确定时，这条直线也就随之确定了，那么现在的问题是：如果已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），那么如何用x1，y1，x2，y来量化直线P1P2的倾斜程度呢？在教师的启发下，引导学生作如下探索：直线y＝kx＋b被其上的任意两个不同的点唯一确定（如图22-3）．因此，由该直线上任意

　　两点A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标可以计算出k的值．

　　由于x1，y1和x2，y2是直线方程的两组解，所以y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b．

　　两式相减，得y2－y1＝kx2－kx2＝k（x2－x1）．所以由直线上两点的坐标求该直线的斜率ｋ与这两点在直线上的顺序无关，可知

　　如果令Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1，则Δx表示变量x的改变量，Δy表示相应的y的改变量．于是

　　因此，我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫作该直线的斜率．垂直于x轴的直线不存在斜率．想想看：（1）在函数方程y＝kx中，如果ｘ表示某物体运动的时间（t），y表示在时刻x时运动过的距离（m），那么k表示的意义是什么？k＝60，120，…的具体意义是什么？（2）如果在函数方程y＝120x中，x表示某商店销售某个商品的数量，y表示销售所得的总收入（元），那么斜率k＝120表示的意义是什么？进一步引导学生明确下列事实：除去垂直于x轴的直线外，只要知道直线上两个不同点的坐标，由（*）式就可以算出这条直线的斜率．方程y＝kx＋b的图像是通过点（0，b）且斜率为k的直线．对一次函数确定的直线，它的斜率等于相应函数值的改变量与自变量改变量的比值．直观上可使我们感知到斜率k的值决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度．当k＝0时，直线平行于x轴或与x轴重合，直线的倾斜角等于0°．当k＞0时，直线的倾斜角为锐角；k值增大，直线的倾斜角也随着增大．当k＜0时，直线的倾斜角为钝角；k值增大，直线的倾斜角也随着增大．垂直于ｘ轴的直线的倾斜角等于90°．三、解释应用［例题］1.求经过A（－2，0），B（－5，3）两点的直线的斜率k．解：x1＝－2，x2＝－5，y1＝0，y2＝3；

　　Δx＝－2－（－5）＝3，Δy＝0－3＝－3．故k＝

　　＝－1，即k＝－1．

　　2.画出方程3x＋6y－8＝0的图像．解：由已知方程解出y，得y＝

　　这是一次函数的表达式，它的图像是一条直线．当x＝0时，y＝；当x＝2时y＝．

　　在坐标平面内描出点A（0，），B（2，），则经过A，B两点的直线即为所求一次方

　　程的图像（如图22-4）．3.若三点A（－2，3），B（3，－2），C（，m）共线，求m的值．解：因为A，B，C三点共线，所以kAC＝kAB，

　　即

　　，解得m＝.

　　思考总结：研究三点共线的常用方法．［练习］

　　1.经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．（1）（1，－1），（－3，2）．（2）（1，－2），（5，－2）．

　　（3）（3，4），（－2，5）．

　　（4）（3，0），（0，）．

　　2.已知过点P（－2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，求m的值．3.过点P（－1，2）的直线l与x轴和y轴分别交于A，B两点．若点P恰为线段AB的中点，求直线l的斜率．四、拓展延伸1.直线的斜率k与直线的倾斜角α之间的关系怎样？

　　2.已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P1P2的斜率为k，求证：｜P1P2｜＝

　　｜x1

　　－x2｜＝

　　｜y1－y2｜．

　　3.某城市出租汽车所收租车费y（元）与行驶路程x（km）之间的关系可用下列关系式表示

　　你能用斜率来解释这一实际问题吗？点评这篇案例首先通过实例一次函数的图像和一次函数的解析式的关系，引入了直线的方程和方程的直线的概念，在概念的建立上充分利用了图像的直观性，注重了数形结合的思想，注意了概念的严谨性．接着由直线相对x轴的位置关系引入了直线的倾斜角和斜率的概念，为了用数研究形，又引入了过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线的斜率公式k＝

　　，通过师生共同探索明确了倾斜角和斜率是表现直线在坐标系中倾斜程度的．例题与练习的设计由浅入深，有利于巩固所学内容．拓展延伸的设计注意了前瞻性和创新，有利于加深理解所学内容和培养学生探究问题的能力．总之，这篇案例的设计比较好地体现了新课程的理念．23直线方程的几种形式教材分析这节内容介绍了直线方程的几种主要形式：点斜式、两点式和一般式，并简单介绍了斜截式和截距式．直线方程的点斜式是其他直线方程形式的基础，因此它是本节学习的重点．在推导直线方程的点斜式时，要使学生理解：（1）建立点斜式的主要依据是，经过直线上一个定

　　点与这条直线上任意一点的直线是唯一的，其斜率等于k．（2）在得出方程

　　后，

　　要把它变成方程y－y1＝k（x－x1）．因为前者表示的直线缺少一个点P1（x1，y1），而后

　　者才是这条直线的方程．（3）当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直

　　线方程为x＝x1．在学习了点斜式的基础上，进一步介绍直线方程的其他几种形式：斜截式、

　　两点式、截距式和一般式，并探索它们的适用范围和相互联系与区别．通过研究直线方程的

　　几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方程，都可以写成关于x，y的一次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础．因为这部分内容较为抽象，所以它是本节学习的难点．教学目标1.在“直线与方程”和直线的斜率基础上，引导学生探索由一个点和斜率推导出直线方程，初步体会直线方程建立的方法．2.理解和掌握直线方程的点斜式，并在此基础上研究直线方程的其他几种形式，掌握它们之间的联系与区别，并能根据条件熟练地求出直线方程．3.理解直线和二元一次方程的关系，并能用直线方程解决和研究有关问题．4.通过直线方程几种形式的学习，初步体会知识发生、发展和运用的过程，培养学生多向思维的能力．任务分析这节内容是在学习了直线方程的概念与直线的斜率基础上，具体地研究直线方程的几种形式，而这几种形式的关键是推导点斜式方程．因此，在推导点斜式方程时，要使学生理解：已知直线的斜率和直线上的一个点，这条直线就确定了，进而直线方程也就确定了．求直线方程就是把直线上任一点用斜率和直线上已知点来表示，这样由两点的斜率公式即可推出直线的点斜式方程．在直线的点斜式方程基础上，由学生推出直线方程的其他几种形式，并使学生明确直线方程各种形式的使用范围，以及它们之间的联系与区别．对于直线和方程的一一对应关系是本节课的难点，在论证直线和方程的关系时，一方面分斜率存在与斜率不存在两类，另一方面又分B≠0与B＝0两类．这种“两分法”的分类，科学严密，可培养学生全面系统和周密地讨论问题的能力．教学设计一、问题情境飞逝的流星形成了一条美丽的弧线，这条弧线可以看作满足某种条件的点的集合．在平面直角坐标系中，直线也可以看作满足某种条件的点的集合．为研究直线问题，须要建立直线的方程．直线可由两点唯一确定，也可由一个点和一个方向来确定．如果已知直线上一个点的坐标和斜率，那么如何建立这条直线的方程呢？二、建立模型1.教师提出一个具体的问题若直线l经过点A（－1，3），斜率为－2，点P在直线l上运动，那么点P的坐标满足什么条件？设点P的坐标为（x，y），那么当P在直线l上运动时（除点A外），点P与定点A确定的

　　直线就是l，它的斜率恒为－2，所以

　　＝－2，即2x＋y－1＝0．

　　显然，点A（－1，3）满足此方程，因此，当点P在直线l上运动时，其坐标（x，y）满足

　　方程2x＋y－1＝0．

　　2.教师明晰一般地，设直线l经过点P1（x1，y1），且斜率为k，对于直线l上任意一点P

　　（x，y）（不同于点P1），当点P在直线l上运动时，PP1的斜率始终为k，则

　　，

　　即y－y1＝k（x－x1）．

　　可以验证：直线l上的每个点（包括点P1）的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方

　　程的解为坐标的点都在直线l上，这个方程就是过点P1、斜率为k的方程，我们把这个方

　　程叫作直线的点斜式方程．

　　当直线l与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为直线l上每一点的

　　横坐标都等于x1，所以它的方程是x＝x1．

　　思考：（1）方程

　　与方程y－y1＝k（x－x1）表示同一图形吗？

　　（2）每一条直线都可用点斜式方程表示吗？

　　［例题］求满足下列条件的直线方程．

　　（1）直线l1：过点（2，5），k＝－1．（2）直线l2：过点（0，1），k＝－.（3）直线l3：过点（2，1）和点（3，4）．（4）直线l4：过点（2，3）平行于y轴．

　　（5）直线l5：过点（2，3）平行于x轴．参考答案：（1）x＋y－7＝0．（2）y＝－x＋1．（3）3x－y－5＝0．（4）x＝2．（5）y＝3．［练习］求下列直线方程．（1）已知直线l的斜率为k，与y轴的交点P（0，b）．（如果直线l的方程为y＝kx＋b，则称b是直线l在y轴上的截距，这个方程叫直线的斜截式方程）（2）已知直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）．

　　（如果直线l的方程为y－y1＝

　　（x－x1），（x1≠x2），则这个方程叫直线的两点式方

　　程）

　　（3）已知直线l经过两点A（ａ，0），B（0，b），其中ab≠0．

　　（如果直线l的方程为

　　，（ab≠0），则a，b分别称为直线l在x轴、y轴上的截

　　距，这个方程叫直线的截距式方程）

　　进一步思考讨论：前面所学的直线方程的几种形式都是关于x，y的二元一次方程，那么任

　　何一条直线的方程是否为关于x，y的二元一次方程？反过来，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？通过学生讨论后，师生共同明晰：

　　在平面直角坐标系中，每一条直线的方程都是关于x，y的二元一次方程．事实上，当直线斜率存在时，它的方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，若设A

　　＝k，B＝－1，C＝b，它的方程可化为Ax＋By＋C＝0；当直线斜率不存在时，它的方程可写成x＝x1，即x－x1＝0，设A＝1，B＝0，C＝－x1，它的方程可化为Ax＋By＋C＝0．即任何一条直线的方程都可以表示为Ax＋By＋C＝0；反过来，关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0）的图像是一条直线．事实上，对于方程Ax＋By＋C＝0，（A，

　　B不全为0），当B≠0时，方程可化为y＝－x－，它表示斜率为－，在y轴上截距

　　为－的直线；当B＝0时，A≠0，方程可化为x＝－，它表示一条与ｙ轴平行或重合的直线．综上可知：在平面直角坐标系中，直线与关于x，y的二元一次方程是一一对应的．我们把方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0）叫作直线的一般式方程．

　　三、解释应用［例题］1.已知直线l通过点（－2，5），且斜率为－．（1）求直线的一般式方程．（2）求直线在x轴、y轴上的截距．（3）试画出直线l．解答过程由学生讨论回答，教师适时点拨．2.求直线l：2x－3y＋6＝0的斜率及在x轴与y轴上的截距．

　　解：已知直线方程可化为y＝x＋2，所以直线l的斜率为，在y轴上的截距为2．在方程2x－3y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－3，即直线在x轴上的截距为－3．［练习］1.求满足下列条件的直线方程，并画出图形．（1）过原点，斜率为－2．（2）过点（0，3），（2，1）．（3）过点（－2，1），平行于x轴．（4）斜率为－1，在y轴上的截距为5．

　　（5）在x轴、y轴上的截距分别为3，－5．

　　2.求过点（3，－4），且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程．

　　3.设直线l的方程为（m2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y＝2m－6，根据下列条件确定m

　　的值．

　　（1）直线l在x轴上的截距为－3．（2）直线l的斜率为1．

　　（3）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为10．

　　四、拓展延伸1.在直线方程y－1＝k（x－1）中，k取所有实数，可得到无数条直线，这无

　　数条直线具有什么共同特点？

　　2.在直线方程Ax＋By＋C＝0中，当A，B，C分别满足什么条件时，直线有如下性质：

　　（1）过坐标原点．

　　（2）与两坐标轴都相交．

　　（3）只与x轴相交．

　　（4）只与y轴相交．

　　（5）与x轴重合．

　　（6）与y轴重合．

　　3.直线方程的一般式与几种特殊形式有什么区别与联系？你能说明它们的适用范围以及相

　　互转化的条件吗？参考答案：

　　1.直线过点（1，1），它不包括直线x＝1．

　　2.（1）C＝0．A，B不全为0；

　　（2）A，B都不为0．

　　（3）A≠0，B＝0，C≠0．

　　（4）A＝0，B≠0，C≠0．

　　（5）A＝0，B≠0，C＝0．

　　（6）A≠0，B＝0，C＝0．

　　点评这篇案例在直线与方程和直线的斜率基础上，通过实例探索出过一点且斜率已知的

　　直线的方程，然后按照由特殊到一般的方程建立了直线的点斜式方程，在点斜式方程的基础

　　上由学生自主的探究出直线方程的其他形式，并研究了几种直线方程的联系与区别以及它们

　　的适用范围．在案例的设计上注意了知识的发生、发展和适用的过程．在例题与练习的设计

　　上，注意了层次性和知识的完整性的结合，在培养学生的能力上，注意了数学的本质是数学

　　思维过程的教学，体现了数形结合、化归、转化、抽象、概括以及函数与方程的思想．在培

　　养学生创新意识、探索研究、分析解决问题的能力等方面，做了一些尝试，体现了新课程的

　　教学理念，能够较好地完成本节的教育教学任务．

　　24点到直线的距离

　　教材分析

　　点到直线的距离是解析几何的重要内容之一，它的应用十分广泛．点到直线的距离是指由点

　　向直线引垂线的垂线段的长．我们知道，求点到点的距离，有“工具”———两点间的距离公

　　式可用，同样有必要创造出一套“工具”来方便地解决点到直线的距离问题，也就是说：已知

　　点P（x1，y1）和直线l：Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0），目标是设法用已知的量x1，

　　y1，A，B，C把点P到l的距离表示出来，当作公式用．教材上公式的推导运用了两点间

　　的距离公式，具体做法是作直线m过点P与l垂直，设垂足为Po（xo，yo），Po满足直线

　　m的方程，也满足直线l的方程，将Po的坐标分别代入直线m和直线l的方程，通过恒等

　　变形利用两点间的距离公式，推出点到直线的距离公式．这种方法思路清晰，学生易于接受，

　　但恒等变形较抽象，学生难于掌握，故教学中应注意启发学生怎样想到这样变形．这样既可

　　以活跃学生的思维，又可以锻炼其发现问题、研究问题、解决问题的能力．公式的推导方法

　　还有很多，对学有余力的同学可加以启发，展开讨论，以培养其数学思维能力．这节课的重

　　点是理解和掌握点到直线的距离公式，并能熟练地应用公式求点到直线的距离，难点是点到

　　直线的距离公式的推导．

　　教学目标1.通过探索点到直线距离公式的思维过程，培养学生探索与研究问题能力．

　　2.理解和掌握点到直线的距离公式，体会知识发生、发展、运用的过程，数形结合、化归

　　和转化的数学思维，培养学生科学的思维方法和发现问题、解决问题的能力．

　　任务分析这节课是在学习了“两点间的距离公式”、“两条直线的位置关系”的基础上引入的，通过复习两直线垂直、两直线相交及两点间的距离公式，学生容易想到把点到直线的距离问题转化为两点间的距离问题．为了利用两点间的距离公式，须要求垂足的坐标．若利用垂线与已知直线相交解出垂足的坐标，想法自然，但求解较繁，为了简化解题过程，自然要想其他方法，教材采用了设而不求，整体代换来解决问题，简单明了，但恒等变形较难，因此，通过分析两点间的距离公式与点到直线距离的联系和区别，找到恒等变形的思路是解决问题的关键．本课通过观察、分析掌握两点间距离公式的特点，总结应用两点间距离公式的步骤；通过例题和练习使学生掌握并能应用两点间距离公式解决有关问题；通过探索和研究有关问题培养学生的数学思维能力．教学设计一、问题情境1.某供电局计划年底解决本地区一个村庄的用电问题，经过测量，若按部门内部设计好的坐标图（以供电局为原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为ｙ轴的正半轴，长度单位为km），则这个村庄的坐标是（15，20），它附近只有一条线路通过，其方程为3x－4y－10＝0．问：要完成任务，至少需要多长的电线？这实际上是一个求点到直线的距离问题，那么什么是点到直线的距离，如何求村庄到线路的距离呢？2.在学生思考讨论的基础上，教师收集学生各种的求法，得常见求法如下：（1）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为m，易求m的方程为4x＋3y

　　

篇六：集合教材分析

　　《集合的基本关系》教材分析一内容结构

　　（1）通过日常生活实例，感受一个集合是另一个集合的一部分的关系。教材选取班级同学组成集合，所有的矩形都是平行四边形，所有的有理数都是实数这三个例子，感受两个集合之间的关系。（2）引入抽象概念，了解子集的意义。教材直接给出两个集合包含关系的概念，进而引出子集的概念，以及如何表示集合之间的包含关系。为下一步接受真子集的概念做铺垫。（3）初步建立Venn图的表象。为了直观的表示集合之间的关系，教材引出Venn图，即用封闭曲线的内部表示集合。采用“数形结合”的方式给出集合之间关系的直观表象。（4）结合数轴表示数集的关系。教材利用两个数集关系的表示方法，说明数集的表示常借助于数轴。二教学目标知识与技能目标：

　　（1）了解集合间包含关系的意义；（2）理解子集，真子集的概念和意义；（3）会判断简单集合的相等关系；（4）会利用画Venn图表示集合间的关系。过程与方法目标：（1）引导学生在通过观察，分析集合间的相互关系，归纳出子集，真子集的概念；（2）运用“数形结合”的思想方法认识集合间的基本关系；（3）引导学生用数学化的思想表示日常问题；（4）提高学生的逻辑思维能力，培养学生数形结合和归纳的思想方法。情感态度与价值目标：（1）培养数学来源于生活，又为生活服务的思维方式；（2）个体与集体之间，小集体构成大社会的依存关系；（3）发展学生抽象，归纳事物的能力，培养学生辩证的观点。三地位与作用《标准》关于“集合的基本关系”内容有这样的要求：“理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。”该内容就是为具体落实《标准》而设立的。经历了中考，学生已经有了较强的数学思想。高中学习的第一个数学概念就是集合，第一节学习了集合的概念及表示方法，接下来很自然的就应该学习集合之间的基本关系，所以学习这一节学生已经有了心理基础。通过对这一节知识的学习，学生深入理解了集合的概念，集合之间的基本关系。集合的含义与基本关系是高中数学最为基础的知识点之一，也是后续学习的基础。四教学建议1创设情境，引入新课“集合”概念的引入是借助生活中许多例子开始的，所以在讲解集合间的基本关系时不能仅局限于书上的三个实例。可以借助中国地图，各个省份与中国之间的关系来说明。2直观认识，逐渐深入在给出集合之间包含关系的定义后，由Venn图直观的表示两个或者两个以上集合的关系。之后我们不要仅限于直观的研究，进一步看数集之间的关系及表示数集的最好方法。3结合知识，探究学习有子集，真子集的概念，让学生自己总结出空集是任何集合的子集这一结论。组织学生开

　　展探究性学习活动，引导学生自主，合作解决问题，而不是采用传统的教师教授的方法。通过学生的自主思考，合作交流，教师的点拨，引导，强化，使学生深入理解所学习的内容。4总结归纳讲解，分析例题后，教师应对本节课做一下总结。本节课主要学习了集合之间的基本关系。重点是子集，真子集的概念。难点是元素与子集，属于与包含间的区别。空集是任何非空集合的真子集的理解。布置作业，课后练习第5题，计算集合子集的个数，对学生深入理解子集的概念有很大帮助。

　　

　　

篇七：集合教材分析

　　在教学中充分的探索时间和空间是有利于促进学生发展的请学生数数参加游戏的一共有多少人从而出现了学生算的人数与老师调查的人数不符出现了认知冲突就此营造了一个让学生自己发现问题分析问题解决问题的良好氛围激发了探究欲望接着我安排了充足的时间空间引导学生主动探究借助呼啦圈重新梳理重复名字的过程直观形象地揭示人数多出来的原因所在巧妙的设置使画出集合图水到渠成让学生进一步感受体验到集合图的直观形象简洁明了的作用

　　《数学广角——集合》教学设计

　　1、初感重复现象，建立集合表象师：同学们，老师给大家带来一个脑筋急转弯，看谁反应快!两个爸爸和两个儿子去动物园，他们只买了三张票，却顺利地进了动物园，这是为什么？学情预设：生：是爷爷、爸爸和儿子三个人。

　　生：爸爸是儿子的爸爸，也是爷爷的儿子。师：到底谁猜对了呢？下面揭晓答案：是小朋友跟着爸爸和爷爷一起去动物园。教师引导：我们来看：在这对父子关系中，是儿子和爸爸，而在这对父子关系中，也是儿子

　　和爸爸，所以出现了两个爸爸和两个儿子，其实只有几个人？他们只需要买几张票？师：哪位同学可以用一句话来形容一下他的身份？生：他既是儿子的爸爸，又是爸爸的儿子。师：这个词用的好，老师一下就听明白了，这个人既是小孩的爸爸，又是老人的儿子，他扮演了两个角色，所以他重复出现了两次。2、引发认知冲突，抽象集合思想师：脑筋急转弯有趣吗？老师还带来了更好玩的游戏！师：玩过这个游戏吗？会玩吗？现在想玩吗？我准备了两个椅子，谁想参加？他俩抢椅子可以吗？为什么？明白了，人数要比椅子多，那就再来几位同学。（1）、猜拳游戏师：（给每位同学身上贴一张数字卡片）出问题了，人多了怎么办？（减人），这样吧，我再增加一个游戏。后面上来的4位同学，两两一组猜拳，最终胜出的一位同学玩抢椅子游戏，可以吗？生：四人猜拳游戏，获胜一人。（2）、抢椅子游戏师：现在你们三位玩“抢椅子”，游戏规则：按顺时针方向围着椅子转圈，音乐停止，看谁抢到椅子。生：三人进行抢椅子游戏。

　　（3）、发现问题师：游戏的时光很快乐，快乐过后也要有思考。刚才玩“猜拳”有几人？（4人）“抢椅子”

　　的有几人？（3人），请这些同学起立，感谢你们的积极参与。我们一起数一数一共有1、

　　2、3、4、5、6，不对呀，刚才玩“抢椅子”的有3人，“猜拳”有4人，应该有7人，怎么少

　　一人？（4）、初悟“重复”师：别着急，老师这有两个神奇的呼啦圈，为什么说它神奇，因为它能帮我们解决这个问题。

　　不信我们来试一试：请“猜拳”的同学站到这个圈，“抢椅子”的同学站到这个圈。你怎么站外面？那怎么办比较合适？谁给他出个主意？生：站中间师：为什么站中间？生：因为他两个游戏都参加了。他既参加了“猜拳”，又参加了“抢椅子”。师：现在老师再来数一遍：这个圈是参加“猜拳”的4位同学，这个圈是参加“抢椅子”的3位同学，一共有1、2、3、4、5、6位同学。师：这个算式怎么得到6？（减1），减掉1表示什么？生：减掉重复的师：也就是说，重复的人数要减去。3、重视多元表征，感悟集合思想（1）、画呼啦圈的样子，初步认识维恩图师：两个呼啦圈是不是很神奇，帮我们解答了刚才的疑惑。你能把它们的样子画下来吗？现在你试着把它画在学习单上。生：在学习单上画呼啦圈的样子，一位同学画在黑板上。师：你画的和黑板上一样吗？我们约定一下：这个圈代表“猜拳”，这个圈代表“抢椅子”。师：还记得刚才几位同学站的位置吗？请他们再次上台，把自己的数字卡片贴在相应的位置。生：上黑板贴卡片。师：同学们一起创造出的这幅图与英国数学家韦恩想到一块去了。约翰.韦恩（JohnVenn）是十九世纪英国的哲学家和数学家，他就是用这样的封闭曲线直观地研究、表示数学中的“集合问题”，也是这节课我们要研究的主题。像这样的图，既叫韦恩图，也叫集合

　　图。（2）、贴数字卡片，体会维恩图中元素的特性。师：回想一下刚才几位同学在韦恩图中贴数字卡片时有没有先后次序？（没有）数字卡片有

　　重复的吗？师：这也在提醒我们韦恩图中的每个元素是没有摆放次序的，但不能出现重复和遗漏。（3）、说数学信息，感受维恩图的直观性。师：现在看着这幅图，马上告诉我，猜拳的几个人？抢椅子的几个人？你看，有了这个图，一目

　　了然。除了能看出参加两个游戏的分别有多少人，从图中你还知道了什么？生：**x既玩了抢椅子，又玩了猜拳。（所以我们把它放在了两个集合圈重叠的位置）生：只玩“猜拳”的有4人。师：“只”这个字描述的很恰当。只玩“猜拳”的包括他吗？（不包括）所以只玩“猜拳”

　　的是左边这一部分。还有什么发现？生：只玩“抢椅子”的有三人。你能用粉笔把它描出来吗？师：哪位同学可以试着把这幅韦恩图中的信息完整的说一说？（找2生）

　　（说的很有条理，描述的真完整，谁能帮他做补充？）同桌互相说一说。（4）、根据维恩图，列式计算师：刚才我们借助韦恩图直观的看出了每位同学分别参加了什么游戏。你能根据这幅韦恩图，

　　用算式计算出参加游戏的一共有多少人吗？独立思考，把算式写在学习单上。学生汇报：生1：3+4-1=6（人）抢椅子的3人加上猜拳的4人，再减去两个游戏都参加1人，一共有6人。生2：2+3+1=6（人）只参加抢椅子的2人加上只参加猜拳的3人，再加上既参加又参加的

　　1人，一共有6人。生3：4-1+3=6（人）参加猜拳的4人减去重复的1人，再加上玩抢椅子的3人，一共有6

　　人。生4：3+3=6（人）师：同学们真棒，想出了不同的方法去解决同一个问题。这些方法都可以，同学们可以选择

　　自己喜欢的方法。小结：我们一起来总结一下，要求一共有多少，把参加A组和参加B组的相加，再减去中间

　　既参加A组又参加B组重复的；或者把只参加A组和只参加B组的先相加，再加上中间重复的。你看，有了维恩图，我们在解决集合问题时，问题由复杂变得清晰直观了很多。4、设计丰富练习，内化集合思想基础练习（1）、下面这些动物你认识吗？谁是会飞的？谁是会游的呢？

　　教师指导：①教师指导学生把动物的序号填进合适的图中，并请学生说说集合图中各部分的含义。②做题时，有序思考，做到不遗漏、不重复。③有部分孩子缺乏对“大雁”的认识，及时拓展课外知识。

　　（2）、

　　这两个场景熟悉吗？这是我们学校充满书香气息的书法教室和大气时尚的器乐教室。下面是我们学校参加两个兴趣小组的情况。

　　师：哪位同学可以介绍一下这幅韦恩图呢？（边指边说）提问：参加书画组和器乐组一共有多少人？把算式列在练习纸上。生：10+12-2=20（人）师：为什么要减2呢？生：因为这2人既参加了书画组，又参加了器乐组。拓展练习（3）、芳芳过生日，小明和小丽分别送了她一个礼盒（如下）

　　学生分小组合作：利用学具袋中的各种文具摆一摆，思考可能会有几种文具？小组汇报，投影展示。

　　5、课堂梳理，总结交流这节课我们一起学习了集合的知识，还会借助韦恩图去解决生活中的几个问题。说一说

　　这节课你都有那些收获？

　　《数学广角——集合》学情分析

　　学生在计数和计算的学习中，已经接触过集合思想，但学生在低年级接触的集合思想更多是一一对应的思想，对于两个集合间的运算，尤其是交集的体会并不多。而且，在学习用画图的方法解决问题时，更多的是用列举的方法画出集合所有的元素，没有将一个集合的元素圈出来的经验积累。因此，学生很难自己想到画集合图来表示每一组数据，并用集合图表示它们之间的运算。对于“重复的人数要减去”，学生是有经验的，能够列式解答。

　　根据学生现状，采取的措施如下：首先，在教学中充分尊重学生的基础，放手让学生自主探索解决问题的方法。如果学生不能画出维恩图，不必一味让学生“创造”，可以用讲授法让学生认识并理解。学生画的图示并不一定是标准的维恩图，只要能清楚地表示出两个集合的关系，教师都应给予充分的肯定。其次，利用多媒体课件或教具，配合学生汇报直观演示将两个集合圈合并的过程。再者，在学生解决“求两个集合的并集的元素个数”的问题时，会用到多种方法，如画图示或列算式等。应放手让学生尝试解决，并充分展示学生的方法。最后，要注重通过语言描述，让学生在图示与算式这两种表征之间进行转换，感受集合的知识。

　　《数学广角——集合》效果分析

　　通过本节课的学习，学生了解了简单的集合知识，初步感受了它的意义。能根据维恩图直观的看出两个集合交集或并集关系，说出每一部分的含义；会通过画维恩图表示两个集合之间的关系；学会了借助维恩图，列式计算“两个集合的并集的元素个数”，运用集合的思想来解决较简单的实际问题。

　　在听课质量方面，大部分学生上课听讲质量较高，注意力集中，思维活跃，发言积极，数学语言表达准确，小组合作中，积极交流，探索发现，体会维恩图的直观性，合作效率较高。听课中个别学生有注意力分散现象，在教学中给予了适当提醒。

　　在听课效果方面，课上两个练习的掌握情况较好。练习一：1、学生参加兴趣小组情况如下图：

　　书画组10人

　　器乐组12人

　　2人

　　参加书画组和器乐组一共有多少人？

　　本题没有给出两个集合的具体元素，只是给了两个集合及它们交集的元素个数，让学生介绍维恩图中每一部分的含义，并求出这两个集合的并集的元素个数。旨在脱离具体的元素，从集合元素个数的角度，让学生进一步理解集合概念的含义和交、并。

　　本题应对40人，实对37人，对题率92.5%。

　　练习二：两个礼盒一共有几种文具？小组合作：可以摆一摆，画一画，算一算，动手试试吧！

　　在学生积累了较丰富的活动经验的基础上，设计“两个礼盒一共有几种文具？”这一开放题，脱离了具体的集合元素的支撑，由正向思维到逆向思维，学生需结合集合思想进行分析，还需结合可能性的知识解决问题，提升学生思维水平。

　　本题以小组合作的形式出现。学生通过借助学具袋中的文具摆一摆，发现小明的礼盒中三种文具是固定不变的，而小丽的礼盒中的文具却有不同可能。12个学习小组中，有10个小组能按要求把解决问题的思路用语言表述清楚。在用文具摆一摆的过程中绝大多数学生都能找到3种不同的结果。

　　《数学广角——集合》教材分析

　　【教学内容】人教版教科书第104页例1、及相关内容。

　　【教材分析】本单元主要是结合生活实例，让学生初步体会集合的数学思想方法。集合思想是数学中

　　最基本的思想，甚至可以说集合理论是数学的基础。学生从一年级学习数学时，就开始接触集合的思想方法了。例如，学习数数时，利用维恩图表示集合的方法，把1面国旗、2个单杠、三个石凳分别用封闭的曲线圈起来表示，直观、形象地表示出数学概念；而且在今后的学习中经常要用维恩图表示集合及交集、并集的方法，让学生体会集合的概念及集合的交集、并集，学习用集合的思想方法思考和解决简单的实际问题，为今后的学习奠定基础。例1借助学生熟悉的素材——计算参加跳绳和踢毽子比赛的人数，介绍如何用维恩图表示出参加两项比赛的人数，同时启发思考怎样列式解决问题，渗透集合的有关思想和方法。

　　集合思想虽然在小学数学教学中有广泛的渗透，但是此内容并不是必须掌握的内容。本单元教学的落脚点不是掌握与集合有关的概念，也不是熟练掌握计算的方法，而是让学生经历探究的过程，在解决问题的过程中理解集合的思想，并获得有价值的数学活动经验。因此，教师在教学中要注意把握好知识的难度和要求，尽量用通俗易懂的语言渗透集合思想。例如，对于集合的术语，如集合，元素、交集、并集等，虽然在教学中可以介绍给学生，但并不需要让学生掌握，只要学生能用自己的语言表达和交流就可以了。教科书中出现的解决问题都是计算运算后的集合（并集或交集）的元素个数，但重点不是熟练计算，而是让学生通过解决此类问题，了解、体会集合概念及运算的道理。【教学目标】1、使学生经历解决问题的过程，了解简单得集合知识，初步感受它的意义。2、使学生学会借助维恩图，运用集合的思想方法来解决较简单的实际问题，从而感受数学

　　与生活的相互联系。3、培养学生合作学习的意识和主动探究的意识。【教学重点】

　　经历维恩图的产生过程，利用集合的思想方法解决有重复部分的问题。【教学难点】

　　理解维恩图的意义，会解决简单重复问题。

　　《数学广角——集合》评测练习

　　练习一：1、学生参加兴趣小组情况如下图：

　　书画组10人

　　器乐组12人

　　2人

　　参加书画组和器乐组一共有多少人？

　　练习二：2、两个礼盒一共有几种文具？

　　小组合作：可以摆一摆，画一画，算一算，动手试试吧！

　　《数学广角——集合》课后反思

　　这一课教学过程基本上实现了教学设计的意图，让学生体会到了"集合"这一基础数学思想在生活中实现运用，以及这一知识对解决我们生活的实际问题的重要性。学生在整个教学过程能积极参与到数学活动中来，积极运用所学的知识解决问题，体会到数学知识的有用价值，同时也激发了学生学习数学的兴趣和爱好。主要表现在以下几方面:一、教学内容体现生活。

　　数学知识来源于生活，又应用于生活实际。在本课的教学中，我注重从学生的实际出发，把数学知识和生活实际紧密联系起来，让学生体验“生活数学”。所以在课堂中先创设“脑筋急转弯”，初步感知“重复”，再选择学生喜闻乐见的游戏，使学生感受到玩中学，学中玩，培养学生爱数学的情感、用数学的意识和解决简单实际问题的能力。二、注重知识的形成过程，提供学生实践操作的机会。

　　现代教育理论主张“让学生动手去做科学，而不是用耳朵听科学”。因此教学要给学生留有足够的实践活动空间，教师是教学过程的组织者、引导者，使学生真正成为学习的主人。本节课创设了让学生去画维恩图，可见，创造源于实践，提供实践操作平台，激发学生学习数学的兴趣和热情的同时也培养学生的创新思维。

　　三、注重解决问题方法的多样化，发展学生思维。在教学中，充分的探索时间和空间是有利于促进学生发展的，请学生数数参加游戏的

　　一共有多少人，从而出现了学生算的人数与老师调查的人数不符，出现了认知冲突，就此营造了一个让学生自己发现问题、分析问题、解决问题的良好氛围，激发了探究欲望，接着我安排了充足的时间、空间引导学生主动探究，借助呼啦圈重新梳理重复名字的过程，直观形象地揭示人数多出来的原因所在，巧妙的设置使画出集合图水到渠成，让学生进一步感受体验到集合图的直观形象，简洁明了的作用。引导学生充分交流集合图中各部分的含义，从上面的充分感知中，再到算法的引出，又是水到渠成，使绝大部分学生都能理解重叠问题的解决策略。整节课每一位学生自始至终共同参与，拥有自行探索、自行创造的机会。

　　本课教学中，也有几点不足：首先教学时放手不够洒脱，学习列算式这一环节，学生在直面人数的矛盾和认知冲突时，通过操作和思维的碰撞是能够独立的解决问题的，但自己没敢做到完全放手，而是选择一步步引导学生。在以后的教学中，要做自己思想工作，大胆放手、相信学生。其次，对学生创造性的培养程度还有些欠缺，在经历维恩图产生的过程中，借助呼啦圈的样子感知维恩图的产生既是优点也是缺点，优点就是比较直观的使学生理解每一部分的含义，缺点是目的性比较明显，束缚了学生其他的表示方法。以上都需要我在今后的教学中不断思索研究、总结完善。

　　《数学广角——集合》课标分析

　　新课程标准指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。并对总目标从知识技能、数学思考、问题解决和情感态度四个方面进行具体阐述。在“数学思考”中再次明确提出“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”。

　　小学生认识事物带有具体性和直观形象性，本课的教学主要从“思维可视化”、“思想渗透化”、“知识应用化”三大方面体现了在整个课程标准价值实现中的定位。以可视化的学习方式推进教学，通过具体实物，强化形象感知，建立正确表象，让集合思想有效渗透在学生心中。

　　一、思维可视化

　　思维可视化是指以图示或图示组合的方式把原本看不见的思维过程、结构规律、思考路径及解题方法呈现出来。根据小学生认知发展规律和学习规律，它们的思维都是从点状思维开始，逐步向线性、网状、系统思维阶段发展。思维可视化，要求我们在课堂教学中用图示的方式来表达思维过程。在这个过程中，学生的数学思维逐步从零散走向联系，从知识层深入到思维层，从而打通数学知识的内在联系，实现系统化建构。

　　在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图被称为维恩图。这种表示方法直观、形象，尤其对于解决比较复杂的问题（例如，涉及三个以上的集合的并、交的问题）更能显示出它的优越性。因此，本课注重借助维恩图表示集合及其运算，帮助学生理解集合的知识，并让学生掌握画维恩图的方法，通过“动态地演”、“直观地看”、“形象地画”等方式把抽象的关于集合的概念内涵、学习方法、思想方法等可视化，激发学生学习兴趣，激活学生思维的潜能。例如，借助呼啦圈的活动，调动学生探索的积极性，直观的感受“重复”现象，强化形象感知，为后续学习维恩图建立直观表象；通过组织学生将数字卡片贴到黑板上的维恩图中，使学生直观地感受到集合中每个元素的摆放是没有前后次序的，但不能出现重复和遗漏，体会集合元素的特性。

　　二、思想渗透化新课标指出，通过学习，学生能够初步学会应用数学思想方式去观察，分析现实社会，

　　去解决生活中和其他学习中的问题，增强数学应用意识。这就要求我们在教学中不仅要传授数学知识，更要渗透和运用数学的思想方法，引导学生学会数学地思考问题，掌握解决问题的策略，从而提高学生的数学素养。

　　本节课提出“参加两个游戏的一共有多少人？”“怎么少一人？”的问题后，学生的不同答案引发“冲突”。抓住这一冲突，借助呼啦圈实物，以此激发学生探究的欲望，让学生积极主动地投入解决问题的活动中去。运用实物演示、画图、读图等方式理解集合这个新知识，并让学生亲历集合图的形成过程。体会集合存在于学习生活中，培养学生应用集合思想解决实际问题的能力，初步感受集合思想的奇妙与作用，渗透集合思想。

　　三、知识应用化新课程标准指出：要使学生“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力”。

　　这里实际指的是主动应用数学知识的意识，学生能够有意识地、积极主动地应用数学知识去分析、解决现实中的实际问题。在习题的设计上，注重联系学生生活实际，有层次的渗透集合知识。例如，基础练习中出示了学生在生活中熟悉的动物，学生根据“会游泳”和

　　“会飞”这两个特征填写维恩图，巩固对维恩图的认识，进一步体会集合概念的含义和运算；趣味练习中向学生展示了学校的书画教室和器乐教室的照片，引出参加两个兴趣小组的情况，贴近学生的生活实际，有利于学生联系自身的生活经验，有较强的认同感，能激发学生解决问题的内在动力，并且通过学习可以把知识转化为生活经验，灵活应用到今后实际问题的解决中；拓展练习的设计，是一道开放题，“两个礼盒中一共有几种文具？”从正向思维到逆向思维，既连接所学知识资源，又实现对学生思维的拓展。这样的练习设计不仅能让学生结合集合思想进行分析，还能结合可能性的知识解决问题。

　　

　　

篇八：集合教材分析

　　课题： 11集合

　　教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础。许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上。此外，集合理论的应用也变得更加广泛。

　　课型：新授课课时：1课时教学目标：1知识与技能

　　（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）牢记常用的数集及其专用的记号。（3）理解集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。（4）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的问题。2过程与方法（1）学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，深入理解集合的含义。（2）学生自己归纳本节所学的知识点。3情感态度价值观

　　使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣。教学重点：集合的概念与表示方法。教学难点：对待不同问题，表示法的恰当选择。教学过程：一、引入课题

　　军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

　　在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。1.阅读课本ent），把一些元素组成的总体叫做集合（et）（简称为集）。2.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两

　　种情况必有一种且只有一种成立。例：（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。例：（3）无序性：只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的。例：3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。答案：（1）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合。

　　（2）不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的。4.元素与集合的关系；

　　（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（beongto）A，记作a∈A

　　（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbeongto）A，记作aA

　　例：我们用A表示“1~2021所有的素数”组成的集合，则3A,4A

　　6常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N；整数集，记作Z有理数集，记作Q

　　实数集，记作R（二）集合的表示方法

　　我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

　　（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列表法。如：{1，2，3，4，5}，{2，32，53-，22}，…；例1．（课本例1）思考2，引入描述法答案：（1）1~9内所有偶数组成的集合（2）不能，因为集合中元素的个数是无穷多个。说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

　　如：{|-3>2}，{,|=21}，{直角三角形}，…；例2．（课本例2）说明：（课本P5最后一段）思考3：（课本P6思考）强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素{,|=232}与{|=232}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。辨析：这里的{}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。如果写{实数}是正确的。说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较

　　多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（三）课堂练习（课本P6练习）二、归纳小结

　　本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。四、作业布置（书面作业：习题11，第1-4题）

　　

　　

篇九：集合教材分析

　　而且在今后的学习中经常要用维恩图表示集合及交集并集的方法让学生体会集合的概念及集合的交集并集学习用集合的思想方法思考和解决简单的实际问题为今后的学习奠定基础

　　《数学广角——集合》教学设计

　　1、初感重复现象，建立集合表象师：同学们，老师给大家带来一个脑筋急转弯，看谁反应快!两个爸爸和两个儿子去动物园，他们只买了三张票，却顺利地进了动物园，这是为什么？学情预设：生：是爷爷、爸爸和儿子三个人。

　　生：爸爸是儿子的爸爸，也是爷爷的儿子。师：到底谁猜对了呢？下面揭晓答案：是小朋友跟着爸爸和爷爷一起去动物园。教师引导：我们来看：在这对父子关系中，是儿子和爸爸，而在这对父子关系中，也是儿子

　　和爸爸，所以出现了两个爸爸和两个儿子，其实只有几个人？他们只需要买几张票？师：哪位同学可以用一句话来形容一下他的身份？生：他既是儿子的爸爸，又是爸爸的儿子。师：这个词用的好，老师一下就听明白了，这个人既是小孩的爸爸，又是老人的儿子，他扮演了两个角色，所以他重复出现了两次。2、引发认知冲突，抽象集合思想师：脑筋急转弯有趣吗？老师还带来了更好玩的游戏！师：玩过这个游戏吗？会玩吗？现在想玩吗？我准备了两个椅子，谁想参加？他俩抢椅子可以吗？为什么？明白了，人数要比椅子多，那就再来几位同学。（1）、猜拳游戏师：（给每位同学身上贴一张数字卡片）出问题了，人多了怎么办？（减人），这样吧，我再增加一个游戏。后面上来的4位同学，两两一组猜拳，最终胜出的一位同学玩抢椅子游戏，可以吗？生：四人猜拳游戏，获胜一人。（2）、抢椅子游戏师：现在你们三位玩“抢椅子”，游戏规则：按顺时针方向围着椅子转圈，音乐停止，看谁抢到椅子。生：三人进行抢椅子游戏。

　　（3）、发现问题师：游戏的时光很快乐，快乐过后也要有思考。刚才玩“猜拳”有几人？（4人）“抢椅子”

　　的有几人？（3人），请这些同学起立，感谢你们的积极参与。我们一起数一数一共有1、

　　2、3、4、5、6，不对呀，刚才玩“抢椅子”的有3人，“猜拳”有4人，应该有7人，怎么少

　　一人？（4）、初悟“重复”师：别着急，老师这有两个神奇的呼啦圈，为什么说它神奇，因为它能帮我们解决这个问题。

　　不信我们来试一试：请“猜拳”的同学站到这个圈，“抢椅子”的同学站到这个圈。你怎么站外面？那怎么办比较合适？谁给他出个主意？生：站中间师：为什么站中间？生：因为他两个游戏都参加了。他既参加了“猜拳”，又参加了“抢椅子”。师：现在老师再来数一遍：这个圈是参加“猜拳”的4位同学，这个圈是参加“抢椅子”的3位同学，一共有1、2、3、4、5、6位同学。师：这个算式怎么得到6？（减1），减掉1表示什么？生：减掉重复的师：也就是说，重复的人数要减去。3、重视多元表征，感悟集合思想（1）、画呼啦圈的样子，初步认识维恩图师：两个呼啦圈是不是很神奇，帮我们解答了刚才的疑惑。你能把它们的样子画下来吗？现在你试着把它画在学习单上。生：在学习单上画呼啦圈的样子，一位同学画在黑板上。师：你画的和黑板上一样吗？我们约定一下：这个圈代表“猜拳”，这个圈代表“抢椅子”。师：还记得刚才几位同学站的位置吗？请他们再次上台，把自己的数字卡片贴在相应的位置。生：上黑板贴卡片。师：同学们一起创造出的这幅图与英国数学家韦恩想到一块去了。约翰.韦恩（JohnVenn）是十九世纪英国的哲学家和数学家，他就是用这样的封闭曲线直观地研究、表示数学中的“集合问题”，也是这节课我们要研究的主题。像这样的图，既叫韦恩图，也叫集合

　　图。（2）、贴数字卡片，体会维恩图中元素的特性。师：回想一下刚才几位同学在韦恩图中贴数字卡片时有没有先后次序？（没有）数字卡片有

　　重复的吗？师：这也在提醒我们韦恩图中的每个元素是没有摆放次序的，但不能出现重复和遗漏。（3）、说数学信息，感受维恩图的直观性。师：现在看着这幅图，马上告诉我，猜拳的几个人？抢椅子的几个人？你看，有了这个图，一目

　　了然。除了能看出参加两个游戏的分别有多少人，从图中你还知道了什么？生：**x既玩了抢椅子，又玩了猜拳。（所以我们把它放在了两个集合圈重叠的位置）生：只玩“猜拳”的有4人。师：“只”这个字描述的很恰当。只玩“猜拳”的包括他吗？（不包括）所以只玩“猜拳”

　　的是左边这一部分。还有什么发现？生：只玩“抢椅子”的有三人。你能用粉笔把它描出来吗？师：哪位同学可以试着把这幅韦恩图中的信息完整的说一说？（找2生）

　　（说的很有条理，描述的真完整，谁能帮他做补充？）同桌互相说一说。（4）、根据维恩图，列式计算师：刚才我们借助韦恩图直观的看出了每位同学分别参加了什么游戏。你能根据这幅韦恩图，

　　用算式计算出参加游戏的一共有多少人吗？独立思考，把算式写在学习单上。学生汇报：生1：3+4-1=6（人）抢椅子的3人加上猜拳的4人，再减去两个游戏都参加1人，一共有6人。生2：2+3+1=6（人）只参加抢椅子的2人加上只参加猜拳的3人，再加上既参加又参加的

　　1人，一共有6人。生3：4-1+3=6（人）参加猜拳的4人减去重复的1人，再加上玩抢椅子的3人，一共有6

　　人。生4：3+3=6（人）师：同学们真棒，想出了不同的方法去解决同一个问题。这些方法都可以，同学们可以选择

　　自己喜欢的方法。小结：我们一起来总结一下，要求一共有多少，把参加A组和参加B组的相加，再减去中间

　　既参加A组又参加B组重复的；或者把只参加A组和只参加B组的先相加，再加上中间重复的。你看，有了维恩图，我们在解决集合问题时，问题由复杂变得清晰直观了很多。4、设计丰富练习，内化集合思想基础练习（1）、下面这些动物你认识吗？谁是会飞的？谁是会游的呢？

　　教师指导：①教师指导学生把动物的序号填进合适的图中，并请学生说说集合图中各部分的含义。②做题时，有序思考，做到不遗漏、不重复。③有部分孩子缺乏对“大雁”的认识，及时拓展课外知识。

　　（2）、

　　这两个场景熟悉吗？这是我们学校充满书香气息的书法教室和大气时尚的器乐教室。下面是我们学校参加两个兴趣小组的情况。

　　师：哪位同学可以介绍一下这幅韦恩图呢？（边指边说）提问：参加书画组和器乐组一共有多少人？把算式列在练习纸上。生：10+12-2=20（人）师：为什么要减2呢？生：因为这2人既参加了书画组，又参加了器乐组。拓展练习（3）、芳芳过生日，小明和小丽分别送了她一个礼盒（如下）

　　学生分小组合作：利用学具袋中的各种文具摆一摆，思考可能会有几种文具？小组汇报，投影展示。

　　5、课堂梳理，总结交流这节课我们一起学习了集合的知识，还会借助韦恩图去解决生活中的几个问题。说一说

　　这节课你都有那些收获？

　　《数学广角——集合》学情分析

　　学生在计数和计算的学习中，已经接触过集合思想，但学生在低年级接触的集合思想更多是一一对应的思想，对于两个集合间的运算，尤其是交集的体会并不多。而且，在学习用画图的方法解决问题时，更多的是用列举的方法画出集合所有的元素，没有将一个集合的元素圈出来的经验积累。因此，学生很难自己想到画集合图来表示每一组数据，并用集合图表示它们之间的运算。对于“重复的人数要减去”，学生是有经验的，能够列式解答。

　　根据学生现状，采取的措施如下：首先，在教学中充分尊重学生的基础，放手让学生自主探索解决问题的方法。如果学生不能画出维恩图，不必一味让学生“创造”，可以用讲授法让学生认识并理解。学生画的图示并不一定是标准的维恩图，只要能清楚地表示出两个集合的关系，教师都应给予充分的肯定。其次，利用多媒体课件或教具，配合学生汇报直观演示将两个集合圈合并的过程。再者，在学生解决“求两个集合的并集的元素个数”的问题时，会用到多种方法，如画图示或列算式等。应放手让学生尝试解决，并充分展示学生的方法。最后，要注重通过语言描述，让学生在图示与算式这两种表征之间进行转换，感受集合的知识。

　　《数学广角——集合》效果分析

　　通过本节课的学习，学生了解了简单的集合知识，初步感受了它的意义。能根据维恩图直观的看出两个集合交集或并集关系，说出每一部分的含义；会通过画维恩图表示两个集合之间的关系；学会了借助维恩图，列式计算“两个集合的并集的元素个数”，运用集合的思想来解决较简单的实际问题。

　　在听课质量方面，大部分学生上课听讲质量较高，注意力集中，思维活跃，发言积极，数学语言表达准确，小组合作中，积极交流，探索发现，体会维恩图的直观性，合作效率较高。听课中个别学生有注意力分散现象，在教学中给予了适当提醒。

　　在听课效果方面，课上两个练习的掌握情况较好。练习一：1、学生参加兴趣小组情况如下图：

　　书画组10人

　　器乐组12人

　　2人

　　参加书画组和器乐组一共有多少人？

　　本题没有给出两个集合的具体元素，只是给了两个集合及它们交集的元素个数，让学生介绍维恩图中每一部分的含义，并求出这两个集合的并集的元素个数。旨在脱离具体的元素，从集合元素个数的角度，让学生进一步理解集合概念的含义和交、并。

　　本题应对40人，实对37人，对题率92.5%。

　　练习二：两个礼盒一共有几种文具？小组合作：可以摆一摆，画一画，算一算，动手试试吧！

　　在学生积累了较丰富的活动经验的基础上，设计“两个礼盒一共有几种文具？”这一开放题，脱离了具体的集合元素的支撑，由正向思维到逆向思维，学生需结合集合思想进行分析，还需结合可能性的知识解决问题，提升学生思维水平。

　　本题以小组合作的形式出现。学生通过借助学具袋中的文具摆一摆，发现小明的礼盒中三种文具是固定不变的，而小丽的礼盒中的文具却有不同可能。12个学习小组中，有10个小组能按要求把解决问题的思路用语言表述清楚。在用文具摆一摆的过程中绝大多数学生都能找到3种不同的结果。

　　《数学广角——集合》教材分析

　　【教学内容】人教版教科书第104页例1、及相关内容。

　　【教材分析】本单元主要是结合生活实例，让学生初步体会集合的数学思想方法。集合思想是数学中

　　最基本的思想，甚至可以说集合理论是数学的基础。学生从一年级学习数学时，就开始接触集合的思想方法了。例如，学习数数时，利用维恩图表示集合的方法，把1面国旗、2个单杠、三个石凳分别用封闭的曲线圈起来表示，直观、形象地表示出数学概念；而且在今后的学习中经常要用维恩图表示集合及交集、并集的方法，让学生体会集合的概念及集合的交集、并集，学习用集合的思想方法思考和解决简单的实际问题，为今后的学习奠定基础。例1借助学生熟悉的素材——计算参加跳绳和踢毽子比赛的人数，介绍如何用维恩图表示出参加两项比赛的人数，同时启发思考怎样列式解决问题，渗透集合的有关思想和方法。

　　集合思想虽然在小学数学教学中有广泛的渗透，但是此内容并不是必须掌握的内容。本单元教学的落脚点不是掌握与集合有关的概念，也不是熟练掌握计算的方法，而是让学生经历探究的过程，在解决问题的过程中理解集合的思想，并获得有价值的数学活动经验。因此，教师在教学中要注意把握好知识的难度和要求，尽量用通俗易懂的语言渗透集合思想。例如，对于集合的术语，如集合，元素、交集、并集等，虽然在教学中可以介绍给学生，但并不需要让学生掌握，只要学生能用自己的语言表达和交流就可以了。教科书中出现的解决问题都是计算运算后的集合（并集或交集）的元素个数，但重点不是熟练计算，而是让学生通过解决此类问题，了解、体会集合概念及运算的道理。【教学目标】1、使学生经历解决问题的过程，了解简单得集合知识，初步感受它的意义。2、使学生学会借助维恩图，运用集合的思想方法来解决较简单的实际问题，从而感受数学

　　与生活的相互联系。3、培养学生合作学习的意识和主动探究的意识。【教学重点】

　　经历维恩图的产生过程，利用集合的思想方法解决有重复部分的问题。【教学难点】

　　理解维恩图的意义，会解决简单重复问题。

　　《数学广角——集合》评测练习

　　练习一：1、学生参加兴趣小组情况如下图：

　　书画组10人

　　器乐组12人

　　2人

　　参加书画组和器乐组一共有多少人？

　　练习二：2、两个礼盒一共有几种文具？

　　小组合作：可以摆一摆，画一画，算一算，动手试试吧！

　　《数学广角——集合》课后反思

　　这一课教学过程基本上实现了教学设计的意图，让学生体会到了"集合"这一基础数学思想在生活中实现运用，以及这一知识对解决我们生活的实际问题的重要性。学生在整个教学过程能积极参与到数学活动中来，积极运用所学的知识解决问题，体会到数学知识的有用价值，同时也激发了学生学习数学的兴趣和爱好。主要表现在以下几方面:一、教学内容体现生活。

　　数学知识来源于生活，又应用于生活实际。在本课的教学中，我注重从学生的实际出发，把数学知识和生活实际紧密联系起来，让学生体验“生活数学”。所以在课堂中先创设“脑筋急转弯”，初步感知“重复”，再选择学生喜闻乐见的游戏，使学生感受到玩中学，学中玩，培养学生爱数学的情感、用数学的意识和解决简单实际问题的能力。二、注重知识的形成过程，提供学生实践操作的机会。

　　现代教育理论主张“让学生动手去做科学，而不是用耳朵听科学”。因此教学要给学生留有足够的实践活动空间，教师是教学过程的组织者、引导者，使学生真正成为学习的主人。本节课创设了让学生去画维恩图，可见，创造源于实践，提供实践操作平台，激发学生学习数学的兴趣和热情的同时也培养学生的创新思维。

　　三、注重解决问题方法的多样化，发展学生思维。在教学中，充分的探索时间和空间是有利于促进学生发展的，请学生数数参加游戏的

　　一共有多少人，从而出现了学生算的人数与老师调查的人数不符，出现了认知冲突，就此营造了一个让学生自己发现问题、分析问题、解决问题的良好氛围，激发了探究欲望，接着我安排了充足的时间、空间引导学生主动探究，借助呼啦圈重新梳理重复名字的过程，直观形象地揭示人数多出来的原因所在，巧妙的设置使画出集合图水到渠成，让学生进一步感受体验到集合图的直观形象，简洁明了的作用。引导学生充分交流集合图中各部分的含义，从上面的充分感知中，再到算法的引出，又是水到渠成，使绝大部分学生都能理解重叠问题的解决策略。整节课每一位学生自始至终共同参与，拥有自行探索、自行创造的机会。

　　本课教学中，也有几点不足：首先教学时放手不够洒脱，学习列算式这一环节，学生在直面人数的矛盾和认知冲突时，通过操作和思维的碰撞是能够独立的解决问题的，但自己没敢做到完全放手，而是选择一步步引导学生。在以后的教学中，要做自己思想工作，大胆放手、相信学生。其次，对学生创造性的培养程度还有些欠缺，在经历维恩图产生的过程中，借助呼啦圈的样子感知维恩图的产生既是优点也是缺点，优点就是比较直观的使学生理解每一部分的含义，缺点是目的性比较明显，束缚了学生其他的表示方法。以上都需要我在今后的教学中不断思索研究、总结完善。

　　《数学广角——集合》课标分析

　　新课程标准指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。并对总目标从知识技能、数学思考、问题解决和情感态度四个方面进行具体阐述。在“数学思考”中再次明确提出“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”。

　　小学生认识事物带有具体性和直观形象性，本课的教学主要从“思维可视化”、“思想渗透化”、“知识应用化”三大方面体现了在整个课程标准价值实现中的定位。以可视化的学习方式推进教学，通过具体实物，强化形象感知，建立正确表象，让集合思想有效渗透在学生心中。

　　一、思维可视化

　　思维可视化是指以图示或图示组合的方式把原本看不见的思维过程、结构规律、思考路径及解题方法呈现出来。根据小学生认知发展规律和学习规律，它们的思维都是从点状思维开始，逐步向线性、网状、系统思维阶段发展。思维可视化，要求我们在课堂教学中用图示的方式来表达思维过程。在这个过程中，学生的数学思维逐步从零散走向联系，从知识层深入到思维层，从而打通数学知识的内在联系，实现系统化建构。

　　在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图被称为维恩图。这种表示方法直观、形象，尤其对于解决比较复杂的问题（例如，涉及三个以上的集合的并、交的问题）更能显示出它的优越性。因此，本课注重借助维恩图表示集合及其运算，帮助学生理解集合的知识，并让学生掌握画维恩图的方法，通过“动态地演”、“直观地看”、“形象地画”等方式把抽象的关于集合的概念内涵、学习方法、思想方法等可视化，激发学生学习兴趣，激活学生思维的潜能。例如，借助呼啦圈的活动，调动学生探索的积极性，直观的感受“重复”现象，强化形象感知，为后续学习维恩图建立直观表象；通过组织学生将数字卡片贴到黑板上的维恩图中，使学生直观地感受到集合中每个元素的摆放是没有前后次序的，但不能出现重复和遗漏，体会集合元素的特性。

　　二、思想渗透化新课标指出，通过学习，学生能够初步学会应用数学思想方式去观察，分析现实社会，

　　去解决生活中和其他学习中的问题，增强数学应用意识。这就要求我们在教学中不仅要传授数学知识，更要渗透和运用数学的思想方法，引导学生学会数学地思考问题，掌握解决问题的策略，从而提高学生的数学素养。

　　本节课提出“参加两个游戏的一共有多少人？”“怎么少一人？”的问题后，学生的不同答案引发“冲突”。抓住这一冲突，借助呼啦圈实物，以此激发学生探究的欲望，让学生积极主动地投入解决问题的活动中去。运用实物演示、画图、读图等方式理解集合这个新知识，并让学生亲历集合图的形成过程。体会集合存在于学习生活中，培养学生应用集合思想解决实际问题的能力，初步感受集合思想的奇妙与作用，渗透集合思想。

　　三、知识应用化新课程标准指出：要使学生“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力”。

　　这里实际指的是主动应用数学知识的意识，学生能够有意识地、积极主动地应用数学知识去分析、解决现实中的实际问题。在习题的设计上，注重联系学生生活实际，有层次的渗透集合知识。例如，基础练习中出示了学生在生活中熟悉的动物，学生根据“会游泳”和

　　“会飞”这两个特征填写维恩图，巩固对维恩图的认识，进一步体会集合概念的含义和运算；趣味练习中向学生展示了学校的书画教室和器乐教室的照片，引出参加两个兴趣小组的情况，贴近学生的生活实际，有利于学生联系自身的生活经验，有较强的认同感，能激发学生解决问题的内在动力，并且通过学习可以把知识转化为生活经验，灵活应用到今后实际问题的解决中；拓展练习的设计，是一道开放题，“两个礼盒中一共有几种文具？”从正向思维到逆向思维，既连接所学知识资源，又实现对学生思维的拓展。这样的练习设计不仅能让学生结合集合思想进行分析，还能结合可能性的知识解决问题。

　　

　　

篇十：集合教材分析

　　《集合》教学设计

　　教学内容：人教版三年级上册104-105页内容一、教学目标（一）知识与技能1．在已有知识的基础上经历集合思想方法的形成过程，初步理解集合知识的意义。2．能结合具体情境体会用“韦恩图”解决有重复部分的问题的价值，理解集合图中每一部分的含义，通过语言的描述和计算的方法，能解决简单的重复问题。（二）过程与方法

　　通过观察、操作、实验、交流、猜测等活动，让学生在合作学习中感知集合图形成过程，体会集合图的优点，能直观看出重复部分，解决生活中的问题。（三）情感态度与价值观

　　体验个体与小组合作探究相结合的学习过程，养成勤动脑，乐思考、巧运用的学习习惯，同时在这个过程中感受数学与生活的密切联系，体会数学的价值。二、教学诊断

　　“集合问题”是人教版三年级上册第九单元“数学广角”的第一课时，是小学阶段集合思想教学。集合思想对于三年级学生来说并不陌生，在以往的题型中有过接触，只是无意识形成一些简单解决问题的方法。而本节课所要学的是含有重复部分的集合图，学生是第一次接触。教材中的例1通过统计表的方式列出参加踢毽子比赛和跳绳比赛的学生名单，而总人数并不是这两项参赛的人数之和，从而引发学生的认知冲突。教材中是利用集合图（韦恩图）把这两项比赛人数的关系直观地表示出来，从而帮助学生找到解决问题的办法。教材要求只是让学生通过生活中容易理解的题材去初步体会集合思想，能够用自己的方法解决问题，为后继学习打下必要的基础。对于教师应根据学生特点，适度让学生亲历集合图的形成过程，不必拔高要求，引导学生理解集合图各部分的意义，培养学生应用集合思想解决实际问题的能力，初步感受集合思想的奇妙与作用。三、教学重难点

　　教学重点：了解集合图的产生过程，利用集合的思想方法解决有重复部分的问题。教学难点：理解集合图的意义，会解决简单重复问题。四、教学准备多媒体课件、小白板、练习题卡五、教学过程（一）创设情境，引入新知

　　1、教师课件出示“脑筋急转弯”师：今天，老师给大家带来一个脑筋急转弯，想不想挑战一下自己。师提出问题：有2位妈妈2位女儿一起去看电影，（每人都得买一张票），买了3张票就顺利的进入电影院，你知道这是为什么吗？可以举个例子？学生自由回答。2、教师总结，引出新课

　　师指出：有个人即是妈妈，又是女儿，他的身份重复了板书：既……又……生活中有很多这种现象，今天我们就走进数学广角，研究有趣的重复现象。板书：集合（二）善用例题，引入新课1．情境引入（课件出示“通知”），制造冲突。

　　过渡句：小女孩在光明小学三年级读书，学校刚刚发布的一则通知，谁来读一下？学生读通知师：根据学校的通知要求，每个班一共要选多少名同学参加比赛？生：17人。师：怎样知道的？生：用8+9=17（人）师：同意吗？真同意吗？2、出示原始数据，制造认知冲突，观察名单，初悟“重复

　　师：这是上交学校的学生名单，请大家仔细看看，刚才的答案怎样？生：错了。师：错在哪儿？

　　生：有三人两项比赛都参加了。教师指出：两项比赛都参加的，是重复了。因为重复了，如果用9+8直接计算会怎样？生：不行，有3人两项比赛都参加了。教师指出：用9+8计算了两次，要计算一次。（三）合作探究，体验过程1、出示探究要求：（点课件）

　　设计一种名单，既能清楚地看出参加跳绳和踢毽子的同学，又能明显地看出两项比赛都参加的同学。2、小组交流，

　　师：咱们一起看探究要求，谁来读一读。（生读）根据探究要求，自己先独立思考，然后小组内交流，组长把设计的方法进行整理。3、全班交流过渡句：哪个小组分享一下你们组的智慧结晶？（1）预设：生讲：方法一：用杨明、刘红、李芳两项比赛都参加了，我把他们连起来表示两项比赛都参加的。

　　师总结并评价：很会思考，谁看明白了，这个小组用什么方法一眼看出有3人参加比赛。生：他是用连线的方法。过渡句：还有其他的方法吗？（2）方法二：把重复的圈起来生讲：参加跳绳的有谁，参加踢毽的有谁。把杨明、刘红、李芳圈起来，表示两项比赛都参加的。跳绳：杨明陈东刘红李芳王爱华马超丁旭赵军徐强踢毽子：刘红于丽周晓杨明朱小东李芳陶伟卢强师总结：你们组真聪明，同学们，他们组是用什么方法表示重复的？生：把重复的名字圈起来。过渡句：你们组的方法很巧妙，还有不同的方法吗？

　　（3）方法3：写字方法生讲：我们是用写的方法，把重复的写在上面，不重复的写在下面，这样一眼就能看出有3人两项比赛都参加的。重复的：杨明刘红李芳不重复的：参加跳绳的同学：陈东丁旭王爱华赵军马超徐强参加踢毽的同学：于丽陶伟周晓卢强朱晓东师：你们组的方法让同学们很清晰看出重复的。师：还有不同的方法吗？（4）方法（4）画图法

　　生：我们看了一下课本，用画图的方法，先用一个圈表示跳绳的同学，再用一个圈表示踢毽的同学，既参加跳绳，又参加踢毽的杨明，刘红，李芳，写在中间。

　　陈东丁旭王爱华赵军马超徐强

　　杨明刘红李芳

　　于丽陶伟周晓卢强朱晓东

　　师重点说：你们组真是爱动脑筋，会学习。谁看明白了，谁再介绍一下。学生再进行介绍师：这种方法和我们伟大的数学家想到了一起（点课件）4、介绍韦恩，拓宽视野

　　在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，以及用以表示集合之间关系。这种图称为维恩图(也叫文氏图)，是由英国数学家叫维恩发明创造的，维恩图常用来研究表示数学中的“集合问题”，也叫集合图。

　　（四）认识韦恩图1、用圈形成韦恩图（1）参加踢毽的同学都有谁？学生说，教师把名字粘在黑板上。在数学上，我们把参加跳绳的同学看做一个整体，我用一个圈，把他们圈起来，叫做一个集合。（2）参加跳绳的同学都有谁？学生说，教师把名字粘在黑板上。把参加踢毽的同学也看做一个整体，我又用另一个圈，把他们圈起来，也叫做一个集合。（3）左边的圈表示什么？（参加跳绳比赛的学生集合）右边的圈表示什么？（参加踢毽比赛的学生集合）（4）教师故意设疑，体会集合的无异性、无序性。师：我想把陈东去掉行不行？生：不行，陈东只有一个，去掉跳绳的就少一人了。师：我又想把陈东放到后边行不行？为什么？生：行，放哪都行。2、认识重叠部分（1）怎么表示既参加跳绳，又参加踢毽的同学？把两个集合圈怎么办？生:把两个集合圈交叉。教师操作集合圈（2）把谁放进去？（杨明、刘红、李芳）

　　

篇十一：集合教材分析

　1.1集合的概念

　　一、本节知识结构框图集合概念

　　元素集合的含义集合的表示

　　关系

　　属于

　　不属于

　　列举法描述法

　　二、重点、难点

　　重点：元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合.难点：用描述法表示集合.

　　三、教科书编写意图及教学建议

　　本节的主要内容是在小学和初中基础上，引入集合的含义及其表示，通过本节学习，学生要在了解集合含义基础上，会用符号语言刻画集合，并能判断元素与集合之间的关系.教科书首先从6个实例入手引入元素和集合的含义，以及元素与集合间的关系，随后介绍了一些特殊集合的记号，最后介绍了集合的两种表示方法——

　　列举法与描述法.1，元素和集合的含义（1）集合是一个原始的、不定义的概念，教科书上给出的“一般地，我们把研

　　究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）"只是对集合的描述性说明.学习集合时，主要还是通过实例，让学生了解其含义，教科书第2页上安排的“思考”，其目的是让学生分析6个例子的共同特征，概括元素和集合的含义

　　（2）在了解集合的含义时，要考虑集合中元素的两个性质，即确定性（给定的集合，它的元素必须是确定的）和互异性（一个给定集合中的元素是互不相同的），对于较难理解的“确定性”，教科书用正、反例进行了辨析，并配了第5页“练习”的第1题.教学时，还可以引导学生多举些反例以促进理解，如“好看的衣服”等.

　　2.元素、集合及其关系的表示对于元素、集合的符号表示及“属于”或“不属于”关系，要让学生在具体运用中逐渐熟悉.教学时可以多列举一些例子，让学生了解元素与集合的差异，比如a与{a}，一般地，a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素的一个集合，所以0{0}，

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　　而不能写成0{0}.3.集合的表示：列举法和描述法列举法相对比较简单，但是有些集合并不能用列举法表示，如教科书第3页的“思

　　考"，说明了学习描述法的必要性，描述法是本节课的学习难点，难在对于共同特征的表示，因此，教科书用奇数集的例子详细说明了何为共同特征及其符号表示，即如果一个数x是奇数，那么它除以2的余数为1，用符号表示就是x2k1，反之亦然，所以奇数集可以表示为{xZ|x2k1,kZ}.教学时，可以借助有理数集再次细致说明，也可以再举些例子，让学生学会识别并用符号表示共同特征熟悉描述法的表示形式.

　　教科书第5页“思考”的目的是让学生反思、总结本节的学习，体会不同表示方法的特点，特别是列举法和描述法，一般情况下，对于有限集，在元素不太多的情况下，宜采用列举法，它具有直观明了的特点；对于无限集，一般采用描述法.教学时，多创设各种问题情境（代数、几何、生活等），让学生根据需要选择恰当的表示方法，通过使用体会不同表示方法各自的特点.

　　4，例题和习题的教学分析例1，一是示范用列举法表示集合的方法，二是说明集合中元素的列举与元素顺序无关，即集合的“无序性”.教学时，还可以举一些别的例子，如用列举法表示甲、乙两个足球队比赛时“甲方队员”的集合等.例2是巩固列举法和描述法.教学时，可以让学生选择恰当的表示法表示本节开始时的6个例子，并完成教科书第5页练习第3题，由此体会列举法与描述法各自的特点，表示集合时应该根据具体问题确定采用哪种表示法习题1.1的第5题是一个数学文化的题目，本章学习的集合知识只是集合论中的一些基本概念.集合论是现代数学的基础，而且在计算机、人工智能、语言学等方面都有着重要的作用，所以对于它的赞誉也很多.这个题目就是从这些赞誉入手，希望学生能由此走进集合，体味为何"惊人”和“最美”，感受数学的精神5，值得注意的问题本节的新概念、新符号较多，例如属于符号、描述法的表示形式{xA|P(x)}等，明确符号代表的意义、熟悉不同的符号表示形式，就需要多用、多回归到概念（定理），建立起符号和数学对象之间的关系.因此，教学时要多举例、多使用、多交流、多表达.

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篇十二：集合教材分析

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　　第九单元数学广角——集合一、教学内容借助学生熟悉的题材，渗透集合的有关思想，并利用直观图的方式求出两项比赛都参加的人数。二、教学目标1.让学生经历解决问题的过程，了解简单的集合知识，初步感受它的意义。2.使学生学会借助维恩（Venn）图，运用集合的思想方法来解决较简单的实际问题，从而感受到数学与生活之间的相互联系。3.培养学生合作学习的意识和学习的兴趣。三、编排特点1.数形结合，帮助学生感悟集合思想2.重视学生的已有基础，自主探索与有意义的接受学习有机结合对于“重复的人数要减去”，学生是有经验的，能够列式解答。教科书在编排时，充分考虑到学生已有知识和认知基础，先展示学生运用连线法解决问题的例子，再介绍画维恩图的方法，最后还让学生自己列算式解答。这样编排符合学生的认知规律，提示教师要根据学生的实际情况把握好教学的起点和要求。3.提供丰富的练习内容，有层次地渗透集合知识除了提供两个集合之间有交集且部分元素相同的情况外，为避免思维定势，还给出了两个集合没有交集（练习二十三第4题第（1）题）、有包含关系的两个集合（练习二十三第6题第（1）题）等情况，丰富学生对集合间关系的认识。四、具体编排1.例1（1）例1，要让学生自主探索，思考解决问题的方法。随即，呈现了一一列举出参加两项比赛的学生姓名（两个集合的元素），把重复的连起来（找到交集的元素）解决问题的方法，让学生体会在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。（4）介绍用Venn图表示集合及其运算的方法，让学生体会集合元素的特性：互异性和无序性。（3）“思考题”渗透利用一一对应的思想解决问题的方法。A组和B组的小组赛都需要淘汰15人，都需要进行15场比赛，因此，一共要进行30场比赛。五、教学建议1.注意自主探索与有意义的接受学习有机结合

　　2.重视多元表征，感悟集合思想在学生解决“求两个集合的并集的元素个数”的问题时，会用到多种方法，如画图示或列算式等。另外，要注重通过语言描述，让学生在图示与算式这两种表征之间进行转换，感受集合的知识。借助直观，深刻理解维恩图中每一部分的含义，加深对集合知识的理解。

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　　3.把握好教学要求本单元教学的落脚点在解决问题的过程中理解集合的思想，并获得有价值的数学活动经验。因此，教师在教学中要注意把握好知识的难度和要求，尽量用通俗易懂的语言渗透集合思想。例如，对于集合的术语，如集合，元素、交集、并集等，虽然在教学中可以介绍给学生，但并不需要让学生掌握，只要学生能用自己的语言表达和交流就可以了。

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篇十三：集合教材分析

　教材分析

　　集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具、是中学数学的一个重要的基本概念。它不仅是高中数学的第一课，而且是整个现代数学的基础。学生在小学和初中数学中，已经接触过集合，如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（圆）等，有了一定的感性认识。在此基础上，这一大节首先结合实例引出集合与集合的元素的概念，并介绍了集合的表示方法。把集合的初步知识安排在高中数学的最前面，是因为在高中数学中,集合是学习、掌握和使用数学语言的基础。《普通高中数学课程标准》明确指出:“通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的‘属于’关系；能选择自然语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用”。而且，对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。

　　集合也是一种重要的数学思维方法和人文精神的重要组成部分。本课的主要任务，是让学生经历从“形象”到“抽象”思维的体验过程，建立初步的符号感，发展抽象思维能力和运用数学语言进行交流的能力，体现数学的文化价值。

　　学情分析这是高中数学的第一节课。作为高中老师首先要知道初中和高中学生的心理是不一样，学生还没有适应高中的学习，所以起点要慢，尽可能举一些让学生容易接受的例子，虽说在小学、初中都已渗透了这方面的内容，但集合这个概念是很抽象，况且在本节中，新的符号比较多[约占本书部分数学符号(教科书前所列)的48%]，对学生来说这是一个难点，应让学生知道在某种意义上说数学是一门研究符号的科学，在第一堂课就对数学符号有一个正确的认识。要适当穿插学习数学的方法，让学生知道学数学要摸索自已的学习方法。在教学中尽可能创设一些情境，让学生自然的快乐的自觉的学习数学。本节课要记的东西多，可让学生自己阅读，然后在老师的引导下思考问题，进一步解决问题。

　　

　　

篇十四：集合教材分析

　新课标高中数学《集合》说课稿

　　1、我说课的题目是《集合》。《集合》是人教版必修1，第一章第一节的内容。一．教材分析〔首先我们一起来探讨一下教材的地位和内容〕集合与函数的内容历来是高中数学课程的传统内容，也是后继学习的基础。作为现代数学基础的集合论，它是一个具有独特地位的数学分支。高中数学课程是将集合作为一种语言来学习，它是刻画函数概念的基础学问和必备工具。二、教学目标〔接下来我们分析一下本节的教学目标，新《课程标准》制定的学习目标是〕〔1〕、学习目标了解集合的含义与表示，理解集合间的关系和运算，感受集合语言的意义和作用。〔2〕过程与方法启发学生发觉问题，提出问题，通过学生的合作学习，探究出结论，并能有条理的阐述自己的观点；〔3〕、情感看法与价值观通过概念的引入，让学生感受从特别到一般的认知规律；激发学

　　2、生学习数学的兴趣和主动性，陶冶学生的情操，培育学生坚忍不拔的意志；三．教学重点与难点〔接下来我们来看一下本节的重点和难点是什么〕重点：〔本节的重点应当是〕使学生了解集合的含义与表示，理解集合间的关系和运算，会用集合语言表达数学对象或数学内容)难点：〔在本节的学习过程中，学生们可能遇到的难点是〕〔1〕(要)区分较多的新概念及相应的新符号；〔2〕(如何)选择恰当的方法来精确表示具体的集合；四．教法分析1、以学生为中心，重点采纳了问题探究和启发式相结合的教学方法．2、从实例、到类比、到推广的问题探究，激发学生学习兴趣，培育学习能力启发，引导学生得出概念，深化概念．3、利用多媒体帮助教学，节约时间，增大信息量，增添直观形象性．五．说教学过程〔下面我以集合的含义与表示为例谈一谈

　　3、我的教学设计〕(那么整个教学流程分这么几块)“集合的含义与表示”

　　的教学流程：1问题的引入2构建新知3典例精析4归纳小结，布置作业1问题引入上体育课时，体育老师喊：高一**班同学集合！听到口令，咱班全体同学便会从四面八方聚集到体育老师身边，而那些不是咱班的学生便会自动走开。这样一来，体育来说的一声“集合”就把“某些特指的对象集在一起”了。数学中的“集合”和体育老师的“集合”是一个概念吗？2构建新知〔那么构建新知的时候，主要围绕着以下几点展开〕〔1〕集合的含义数学中的“集合”和体育老师的集合并不是同一概念。体育老师所说的“集合”是动词，而数学中的集合是名词。同学们在体育老师的集合号令下形成的整体就是数学中集合的涵义。师：一般的，某些特定的对象集在一起就成为集合，也简称集，

　　4、例如”我校篮球队的队员“图书馆里全部的书”。同学们能不能再接着举出些集合的例子呢？〔自由发言，教师复述其中正确的举例并板书出来〕〔1〕我们班全部女生〔2〕全部偶数〔3〕四大洋〔2〕集合与元素的关系师：元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于如A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32〔〕A.(请学生填充)。注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……2、“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写。〔3〕集合的表示法常用的有列举法和描述法。列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法。描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。常见数集的专用符号N：非负整数集〔自然数集〕.Q：有理数集R：

　　5、全体实数的集合``````3典例精析例1，推断以下对象是否能组成一个集合，并说明理由1身材高大的人2全部的一元二次方程3全部的数学难题4满足的实数所组成的集合〔在这里我要重点讲的是第四个问题，有的同学会认为x^20

　　第4页

　　的实数解不存在，所以这样的集合没有。事实上这样的回答是错误的，因为不存在元素的集合应当叫做空集。例2(对于例题2也同学们简单错的题，这里主要是围绕集合中的元素应当具有互异性展开，因为它具有互译性，所以这个三角形肯定不是等腰三角形)已知集合{a,b,c}中的三个元素可构成某一三角形的三边长，那么此三角形肯定不是〔〕A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形例3课本P3例1例4课本P4例2例2，例4主要是围绕着集合的描述方法展开。对于这四道题的设计，我们主

　　6、要是围绕着本节课的重点学问展开。通过对于例题的解析，加深对各个学问点的理解。4归纳小结，布置作业归纳小结：1、集合的概念2“集合中的元素必需是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.3、常见数集的专用符号.设计意图：让学生养成在学习之后，能养成做总结的习惯，有利于新学问的构建。布置作业：一、课本P7，习题1.11二、1、预习内容，课本P5—P6

　　第5页

　　

　　

篇十五：集合教材分析

　2015高中数学1.1.2集合间的基本关系教材分析新人教A版必修1

　　教材分析：集合的基本运算是高中新课标A版实验教材第一册第一章第一节第三课时的内

　　容，在学习本节之前，学生已经学习了集合的概念和基本关系，这本节的学习起着铺垫的作用。本节内容在近年的高考中主要考核集合的基本运算，在整个教材中存在着基础的地位，为今后学习函数及不等式的解集奠定了基础，本节可以让学生进一步应用数形结合的思想方

　　法。

　　本节内容是选自新人教A版高中数学必修1第1章第1节第2部分的内容。在此之

　　前，学生已经接触过集合的一些基本概念，本小节内容是在学习了集合的概念以及集合

　　的表示方法、元素与集合的从属关系的基础上，进一步学习集合与集合之间的关系，同

　　时也是下一节学习集合之间的运算的基础，因此本小节起着承上启下的重要作用。

　　2015高中数学1.1.2集合间的基本关系教材分析新人教A版必修1

　　教材分析：集合的基本运算是高中新课标A版实验教材第一册第一章第一节第三课时的内

　　容，在学习本节之前，学生已经学习了集合的概念和基本关系，这本节的学习起着铺垫的作用。本节内容在近年的高考中主要考核集合的基本运算，在整个教材中存在着基础的地位，为今后学习函数及不等式的解集奠定了基础，本节可以让学生进一步应用数形结合的思想方法。

　　本节内容是选自新人教A版高中数学必修1第1章第1节第2部分的内容。在此之前，学生已经接触过集合的一些基本概念，本小节内容是在学习了集合的概念以及集合

　　的表示方法、元素与集合的从属关系的基础上，进一步学习集合与集合之间的关系，同时也是下一节学习集合之间的运算的基础，因此本小节起着承上启下的重要作用。

　　

　　

篇十六：集合教材分析

　人教版数学三年级上册第九单元《集合》教材解析

　　一、教材分析本单元教材第一次安排了简单的集合思想的教学。集合

　　思想是数学中最基本的思想，虽然学生在计数和计算的学习中，已经接触过集合思想，但学生在低年级接触的集合思想更多是一一对应的思想，对于两个集合间的运算，尤其是交集的体会并不多。学生在早期学习数学时就已经开始运用集合的思想方法。如：分类的思想与方法，再如：一年级时接触过这样题：“有一列小朋友，从前数明明排第5，从后数明明排第3，这一列有几人？”对于“重复的人数要减去”，学生是有经验的，能够列式解答。集合数学思想方法不仅有着广泛的应用，而且是今后进一步学习数学的基础。这一数学思想的引入为培养学生的逻辑思维能力提供了良好的素材。在今后的学习经常运用到维恩图表示关系，如：三角形的分类、各种四边形关系等。都是让学生在体会运用上解决实际问题，为今后学习奠定基础。

　　编排特点1．数形结合，帮助学生感悟集合思想在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图被称为维恩图。这种表示方法直观、形象，尤其对于解决比较复杂的问题（例如，涉及三个以上的集合的并、交的问题）更能显示出它的优越性。因此，教科书注重借助维恩图

　　人教版数学三年级上册表示集合及其运算，帮助学生理解集合的知识，并让学生掌握画维恩图的方法。在通过例题介绍了用维恩图表示集合及其运算的方法后，接下来的练习中，不断让学生应用维恩图解决简单的实际问题，并利用维恩图帮助学生进一步理解集合概念及其关系。例如，在维恩图中填出每个集合的元素，体会集合元素的特性（练习二十三第2题、第3题）；用画图的方法表示出两个集合的交集（练习二十三第3题）；借助维恩图体会集合的包含关系（练习二十三第6题）等。

　　2．重视学生的已有基础，自主探索与有意义的接受学习有机结合

　　虽然学生在计数和计算的学习中，已经接触过集合思想，但学生在低年级接触的集合思想更多是一一对应的思想，对于两个集合间的运算，尤其是交集的体会并不多。而且，在学习用画图的方法解决问题时，更多的是用列举的方法画出集合所有的元素，没有将一个集合的元素圈出来的经验积累。因此，学生很难自己想到画维恩图来表示每一组数据，并用维恩图表示它们之间的运算。对于“重复的人数要减去”，学生是有经验的，能够列式解答。教科书在编排时，充分考虑到学生已有知识和认知基础，先展示学生运用连线法解决问题的例子，再介绍画维恩图的方法，最后还让学生自己列算式解答。这样编排符合学生的认知规律，提示教师要根据学生的实际情况把握好教学的起点和要求。

　　人教版数学三年级上册3．提供丰富的练习内容，有层次地渗透集合知识首先，注重联系学生生活实际，帮助学生学习掌握新知。

　　本单元共有9个题目（含例题、“做一做”、练习题），涉及学生在生活（比赛人数、水果品种、参观人数等）和学习（按要求填数、写成语等）中经常遇到的问题：求两个集合的并集或交集的元素个数。学生虽然熟悉这些情境，但以前不一定从集合的角度来思考并解决问题。因此，这样安排不仅可以提高学生学习的兴趣，激发学生的好奇心，而且还让学生体会到数学知识与生活的密切关联，逐渐学会从数学的角度看待身边的事物。其次，有层次地设计练习，逐步丰富并完善学生对集合知识的理解。例如，例题、“做一做”和练习二十三的第1～4题，都提供了具体的集合元素的支撑，帮助学生理解集合及其运算。在学生积累了较丰富的活动经验的基础上，练习二十三的第5题和第6题，则脱离了具体的集合元素的支撑，让学生从集合元素的个数的角度抽象地探索解决此类问题的方法，提升思维的水平。再如，除了提供两个集合之间有交集且部分元素相同的情况外，为避免思维定势，还给出了两个集合没有交集（练习二十三第4题第（1）题）、有包含关系的两个集合（练习二十三第6题第（1）题）等情况，丰富学生对集合间关系的认识。二、课标解读

　　人教版数学三年级上册《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程目标”

　　的“总目标”中明确提出，“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”，并对总目标从知识技能、数学思考、问题解决和情感态度四个方面进行具体阐述；在“数学思考”中再次明确提出“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”。

　　在“数学广角──集合”单元中，教材安排了简单的集合思想的教学。集合思想是数学中最基本的思想，学生在早期学习数学时就已经开始运用集合的思想方法了。集合数学思想方法不仅有着广泛的应用，而且是今后进一步学习数学的基础。这一数学思想的引入为培养学生的逻辑思维能力提供了良好的素材。让学生通过观察、操作、猜测、推理与交流等活动，初步感受数学思想方法的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐步形成有序地、严密地思考问题的意识，同时使他们逐步形成探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识。三、教学目标

　　1．让学生经历解决问题的过程，了解简单的集合知识，初步感受它的意义。

　　人教版数学三年级上册2．使学生学会借助维恩（Venn）图，运用集合的思想方

　　法来解决较简单的实际问题，从而感受到数学与生活之间的相互联系。

　　3．培养学生合作学习的意识和学习的兴趣。四、具体内容

　　1．例1（1）例1，通过解决生活中的实际问题（求两个集合的并集的元素个数），让学生体会集合概念的含义及集合的运算，学习用集合的思想方法解决简单的实际问题。（2）用统计表的形式给出三（1）班参加跳绳、踢毽比赛的学生名单，提出要解决的问题。（3）呈现学生小组讨论如何解决问题的场景，提示教师要让学生自主探索，思考解决问题的方法。随即，呈现了一一列举出参加两项比赛的学生姓名（两个集合的元素），把重复的连起来（找到交集的元素）解决问题的方法，让学生体会在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。（4）介绍用Venn图表示集合及其运算的方法，让学生体会集合元素的特性：互异性和无序性，体会集合的运算：交集、并集。

　　

篇十七：集合教材分析

　高一数学集合

　　课题： 1.1集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数

　　学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。课型：新授课课时计划：本课题共安排1课时教学目的：（1）初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；（2）初步了解“属于”关系的意义；（3）初步了解有限集、无限集、空集的意义；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教具使用：常规教学教学过程：一、听课要求1.课前要预习，课后要复习，作业要认真，按时完成，优秀的学生往往是能自学的；2.认真听讲，积极思维，听课时要做笔记，笔记本要大。记录教师范例、练习、课本重点难点，不懂就问；3.每周一测，每天都有作业，按时完成作业，作业要求每个月装订一次。二、温故知新，引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，我们感兴趣的是问题中的对象整体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念（宣布课题）三、新课教学1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。2.在本书，一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。

　　3.集合的正例和反例

　　（1）{2，3，4}，{（2，3），（3，4）}，{三角形}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，{51，52，53，…，100}，{2，4，6，8，…}，{1，2，（1，2），{1，2}}（2）“好心的人”“著名的数学家”……这类对象一般不能构成数学意义上的集合，因为找不到用以判别每一具体对象是否属于集合的明确标准。{1，1，2}由于出现重复元素，也不是集合的正确表示。

　　4.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。5.集合中的每个对象叫做这个集合的元素集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

　　（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA例如：1∈Z，2.5Z，0∈N；

　　6.集合的表示方法，常用的有列举法和描述法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。

　　如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；7.有限集和无限集的概念8.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R除0数集用符号*或+表示，比如正整数集，记作N*或N+；非零整数集记作Z*；9.描述法表示集合应注意集合的代表元素

　　{(x,y)|y=x2+3x+2}与{y|y=x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。注意：这里的{}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。

　　10.不含任何元素的集合叫做空集，记作；

　　11.韦恩图表示集合12.列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般无限集，不宜采用列举法。13.课堂练习

　　（1）由实数x,x,|x|,x2,3x3所组成的集合，最多含有2个元素；

　　（2）求数集{1，x，x2-x}中的元素x应满足的条件；

　　x1

　　由互异性知，x2x2

　　

　　**

　　1，得**

　　

　　0,1,2,12

　　5

　　（3）表示所有正偶数组成的集合；{x|x=2n,nN*}，是无限集；

　　（4）用描述法表示不超过30的非负偶数的集合是

　　{x|x2k,0k15,kZ}

　　（5）用列举法表示A{xQ|(x1)(x2)(x22)(x21)0}3

　　A{1,2}3

　　（6）用列举法表示B{mZ|6N*}3m

　　B{3,0,1,2}

　　（7）已知集合A{x|ax22x10,aR,xR}

　　①若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个集合；

　　a=0时，2x+1=0，得x1，集合为{1}

　　2

　　2

　　a0时，=4-4a=0，得a=1，集合为{-1}

　　②若A中至多只有一个元素，求a的取值范围；

　　a=0时，2x+1=0，得x12

　　a0时，=4-4a<0，得a>1a的取值范围是a>1或a=0；

　　（8）问集合A与B相等吗？集合A与C相等吗？其中

　　A{y|yx21,xR}B{x|xt21,tR}C{(x,y)|yx21,xR}

　　A=B，A与C是两个不同的集合；（9）写出方程2x2+2x-1=0的解集，并化简（10）写出不等式2x2+3x-1>2(x+1)(x-1)的解集，并化简四、归纳小结，强化思想

　　本节课从初中代数与几何涉及的几何实例入手，引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子。五、作业布置1、读书部分：课本1.12、课后思考：3、书面作业：习题1.1，课时训练1.14、提高内容：

　　当集合SN*，且满足命题“如果x∈S，则8-x∈S”时，回答下列问题：

　　（1）试写出只有一个元素的集合S；（2）试写出元素个数为2的S的全部。（3）满足上述条件的集合S总共有多少个？[解]∵x，8-x都是自然数，∴1≤x≤7。可组成S的元素仅限于自然数1，2，…，7；（1）∵S中只有一个元素，∴x=8-x，即x=4；S={4}（2）S={1，7}；{2，6}；{3，5}（3）3个元素的集合有{1，4，7}，{2，4，6}，{3，4，5}；

　　4个元素的集合有{1，2，6，7}，{1，3，5，7}，{2，3，5，6}；5个元素的集合有{1，2，4，6，7}，{1，3，4，5，7}，{2，3，4，5，6}；6个元素的集合有{1，2，3，5，6，7}；

　　7个元素的集合有{1，2，3，4，5，6，7}；∴满足已知命题的集合S共有15个。

　　六、教学反馈（附加）数学的重要性和数学的研究方法

　　有人比做数学是扎根在土地的大树，大树的主干是数字和基本图形，它分出的支干是数学的各个分支，后来有人说，数学的发展已经远远超过其他学科，它已高高在上，在遥遥的宇宙之颠，俯瞰、指点着事间的任何一个学科。这当然是对数学的赞誉，也从侧面反映数学的重要性，但数学家却不认为数学高高在上之说，第一种观点是对的，第二种观点是错的，你们知道为什么吗？第一种观点指出数学这棵大树之所以根繁叶茂，是因为它来源于实践，是建立在现实需要的基础之上的。而第二种提法却将数学与哲学相提并论。数学是应用学科，因此它的学习和要求就有其特别的地方。数学的处理方法也有其不同。

　　科学的处理方法与数学的处理方法有何不同，让我们举个例子来说明：我们有一张移走两个对角方块的棋盘，它只剩下62个方块。现在我们取31张多米诺骨牌，每一张骨牌恰好能覆盖住2个方块。要问：是否将这31张多米诺骨牌摆得使它们覆盖住棋盘上的62个方块？

　　对这个问题有两种处理方法：（1）科学的处理方法

　　科学家将试图通过试验来解答这个问题，在试过几十种摆法后会发现都失败了。最终，科学家相信有足够的证据说棋盘不能被覆盖。当然科学家也不得不承认有这种前景：某天这个理论可能被推翻。（2）数学的处理方法

　　数学家试图通过逻辑论证来解答这个问题，这种论证将推导出无可怀疑的正确的并且永远不会引起争论的结论。论证如下：

　　▲棋盘上被移去的两个角都是白色的。于是现在有32个黑方块而只有30个白方块。▲每块多米诺骨牌覆盖2个相邻的方块，而相邻方块的颜色总是不同的，即1块黑色和一块白色。▲于是，不管如何摆骨牌，最先放在棋盘上的30张多米诺骨牌必定覆盖30个白色方块和30个黑色方块。

　　▲结果，总是留给你一张多米诺骨牌和2个剩下的黑色方块。▲但是，请记住每张多米诺骨牌覆盖2个相邻的方块，而相邻方块的颜色是不同的，可是这2个剩下的方块颜色是相同的，所以它们不可能被剩下的1张多米诺骨牌覆盖。▲于是覆盖这张棋盘肯定不可能的。

　　

　　

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